TeleMath – Διδακτική Μαθηματικών – Σενάρια Διδακτικής

Μέρη

1. ΤΙΤΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

Το πρόβλημα με τον ποδηλάτη.

Αρχή

2. ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΟ ΟΠΟΙΟ ΕΝΤΑΣΣΕΤΑΙ Η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

Α) Η ιδέα του σεναρίου:

Η απόσταση SA που διανύει ένα κινητό, όταν κινείται με σταθερή ταχύτητα υ, είναι ανάλογη του χρόνου t κίνησης, άρα η γραφική παράσταση της σχέσης SA = υ.t είναι ευθεία που περνά από την αρχή των αξόνων. Η απόσταση SB την οποία απέχει το ίδιο το κινητό από ένα σημείο Β προς το οποίο κινείται μεταβάλλεται (ελαττώνεται) με το χρόνο και η γραφική παράσταση της σχέσης της SB με τον χρόνο t είναι ευθεία η οποία όμως δεν περνά από την αρχή των αξόνων. Στο σενάριο (πρόβλημα) που ακολουθεί απαιτείται η κατασκευή και μελέτη των γραφικών παραστάσεων των δύο σχέσεων στο ίδιο σύστημα αξόνων.

Β) Περιγραφή της δραστηριότητας:

Ένας ποδηλάτης ξεκινάει από μία πόλη Α να πάει σε μία πόλη Β, η οποία απέχει 20 χιλιόμετρα από την Α. Ο ποδηλάτης κινείται με σταθερή ταχύτητα και καλύπτει απόσταση 2 χιλιομέτρων κάθε λεπτό.

  1. Να κατασκευάσετε έναν πίνακα τιμών για την απόσταση SA που διανύει ο ποδηλάτης σε χρόνο t (t = 1,2,…….min).

  2. Να παραστήσετε με σημεία τα ζεύγη τιμών, από τον πίνακα, σε ένα σύστημα αξόνων και να βρείτε το είδος της γραμμής πάνω στην οποία ανήκουν.

  3. Να βρείτε μία σχέση (συνάρτηση) η οποία να συνδέει τον χρόνο t με το διάστημα SA.

  4. Να επαναλάβετε τις δραστηριότητες των ερωτημάτων α,β,γ για την απόσταση SB (απόσταση του ποδηλάτη από την πόλη Β).

  5. Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των δύο γραμμών. Ποια είναι η σημασία του σημείου αυτού για τον ποδηλάτη;

Αρχή

3. EΝΤΑΞΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

  • Τάξη: Α’ ΛΥΚΕΙΟΥ.

  • Γνωστικό αντικείμενο: Συναρτήσεις.

  • Διδακτική ενότητα: Παρ. 2,4 (f(x) = αx + β).

Αρχή

4. ΕΠΙΔΙΩΚΟΜΕΝΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

Α. Γενικό πλαίσιο στόχων

  1. Να μάθουν οι μαθητές τη διαδικασία: πινακοποίηση δεδομένων – αναπαράσταση σε ένα σύστημα συντεταγμένων – εκτίμηση της σχέσης που συνδέει τα ποσά που μεταβάλλονται.

  2. Να μάθουν οι μαθητές να ερμηνεύουν Γεωμετρικά και Αλγεβρικά δεδομένα μέσα σε ένα πρόβλημα (Τα Μαθηματικά σαν εργαλείο).

Β. Βασικοί στόχοι της δραστηριότητας

  1. Να μάθει ο μαθητής ότι μεταβολές στις οποίες όταν η μία μεταβλητή αυξάνεται (ή ελαττώνεται) κατά ίσα ποσά τότε και η άλλη αυξάνεται (ή ελαττώνεται) κατά ίσα ποσά, παρέχουν γραφικές παραστάσεις που είναι ευθείες.

  2. Να μάθει ο μαθητής ότι μία ευθεία, που δεν είναι κάθετη στους άξονες, αποτελεί ένα απλό παράδειγμα γραφικής παράστασης μίας συνάρτησης αύξουσας ή φθίνουσας. Ο μαθητής θα συνδέσει την έννοια της αύξουσας συνάρτησης με μία γραφική παράσταση που ”ανεβαίνει”.

Γ. Υπο – στόχοι

  1. Να μπορεί ο μαθητής να βρίσκει τη σχέση που συνδέει δύο ποσά, μέσα από τον πίνακα, όταν σε ίσες αυξήσεις (ή ελαττώσεις) του ενός αντιστοιχούν ίσες αυξήσεις (ή ελαττώσεις) του άλλου και ιδιαίτερα όταν τα ποσά είναι ανάλογα.

  2. Να συνδέσουν την αμβλεία γωνία με την έννοια της φθίνουσας και την οξεία γωνία με την έννοια της αύξουσας συνάρτησης όταν αυτή έχει γραφική παράσταση μία ευθεία.

  3. Να συνδέσουν τον συντελεστή α του x, στη σχέση y = α.x + β που συνδέει τα ποσά x και y, με τη γωνία της ευθείας και άξονα x’x, άρα και με την έννοια της αύξουσας ή φθίνουσας συνάρτησης.

  4. Να βρίσκουν Γεωμετρικά και Αλγεβρικά το κοινό σημείο δύο ευθειών και να αναγνωρίζουν τη σημασία του μέσα σε ένα πρόβλημα ή γενικότερα μέσα σε ένα πλαίσιο δεδομένων.

Αρχή

5. ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

  1. Ο μαθητής θα μπορεί, μέσα από ένα πίνακα μεταβολών να βρίσκει αν η γραφική παράσταση μίας σχέσης είναι ευθεία και να βρίσκει την εξίσωσή της με τη βοήθεια του υπολογιστή, όταν η ευθεία δεν περνά από την αρχή των αξόνων.

  2. Θα μπορεί ο μαθητής να αναγνωρίζει σαν αύξουσα ή φθίνουσα μία συνάρτηση f(x) = α .x + β ανάλογα με τα α και συγχρόνως θα γνωρίζει ότι η γραφική της παράσταση είναι ευθεία.

  3. Θα έχει τη δυνατότητα ο μαθητής να βρίσκει τη χρήση της γραφικής παράστασης, το είδος της γωνίας (οξεία – αμβλεία), που σχηματίζει η γραφική παράσταση της f(x) = α .x + β με τον άξονα x’x.

  4. Θα μπορεί ο μαθητής να βρίσκει το κοινό σημείο δύο ευθειών μέσα από τη λύση ενός συστήματος.

Αρχή

6. ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ

Για την συγκεκριμένη δραστηριότητα το προβλεπόμενο διδακτικό μοντέλο είναι αυτό της διερευνητικής συνεργατικής μάθησης:

α) Οι μαθητές είναι χωρισμένοι σε ομάδες των δύο ή τριών ατόμων και κάθε μαθητής μέσα στην ομάδα έχει συγκεκριμένο ρόλο π.χ. ένας πληκτρολογεί, άλλος καταγράφει και άλλος ελέγχει και μεταφέρει τα αποτελέσματα των άλλων ομάδων. Ο ρόλος κάθε μαθητή δεν είναι μονοσήμαντα ορισμένος. Μετά το τέλος της διδακτικής ώρας ή μετά την ολοκλήρωση των δραστηριοτήτων που είναι ενταγμένες σε ένα σενάριο εναλλάσσονται οι ρόλοι και μάλιστα καλύτερη εφαρμογή του μοντέλου διδασκαλίας έχουμε όταν οι μαθητές αλλάξουν ομάδες.

β) Ο Καθηγητής συμβουλεύει, απευθύνει κατάλληλες ερωτήσεις στις ομάδες και διαχειρίζεται τον χρόνο ώστε να μην υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ των σταδίων επεξεργασίας των διαφόρων ομάδων.

γ) Κάθε ομάδα ανακοινώνει ή συγκρίνει τα αποτελέσματά της με άλλες ομάδες ώστε οι ομάδες να αποφασίσουν ότι τα κοινά τους ευρήματα είναι σωστά.

δ) Για να ληφθεί μία απόφαση μέσα σε μία ομάδα θα πρέπει να υπάρξει ομοφωνία. σε περίπτωση όμως σοβαρής διαφωνίας ενός εκ των τριών ο διαφωνών περιγράφει την άποψη του σε ένα μικρό κείμενο το οποίο καταχωρείται σαν υπόμνημα με το φύλλο αξιολόγησης στο τέλος.

Αρχή

7. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ

Θα χρησιμοποιηθεί το λογισμικό Function Probe, πρόγραμμα που τρέχει κάτω από Windows και είναι κατάλληλο για μελέτη θεμάτων ‘Αλγεβρας, Ανάλυσης και Τριγωνομετρίας

Αρχή

8. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

Ο καθηγητής κατά την έναρξη της διδασκαλίας δίνει στους μαθητές το παρακάτω φύλλο εργασίας.

Φύλλο εργασίας (Για τον Μαθητή).

Το πρόβλημα του ποδηλάτη

Ένας ποδηλάτης ξεκινάει να πάει από μία πόλη Α σε μία πόλη Β, η οποία απέχει 20km από την Α. Ο ποδηλάτης κινείται με σταθερή ταχύτητα και καλύπτει απόσταση 2km κάθε λεπτό.

1) Να συμπληρώσετε τους πίνακες τιμών:

A : Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών

Χρόνος t (σε λεπτά) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Απόσταση που διανύθηκε s (σε χλμ)                      

B : Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών

Χρόνος t (σε λεπτά) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Απόσταση που απέμεινε s (σε χλμ)                      

2) Όταν αυξάνει ο χρόνος t τι παρατηρείτε για τις τιμές των αποστάσεων; Ποια σχέση συνδέει τον χρόνο t με την απόσταση S που διανύθηκε και ποια τον χρόνο t με την απόσταση που απέμεινε όπως προκύπτει από τα ζεύγη των τιμών στους πίνακες Α και Β.

3) Χρησιμοποιώντας το λογισμικό να εισάγετε τους παραπάνω πίνακες Α, Β στον Η/Υ.

4) Δημιουργήστε δύο σύνολα σημείων με βάση αυτούς τους δύο πίνακες.

5) Δημιουργήστε δύο γραμμές, μία για κάθε σύνολο σημείων, που περνούν από τα σημεία. Συγκρίνετε τους τύπους που προέκυψαν στην οθόνη με αυτούς που έχετε υπολογίσει στο 2ο ερώτημα.

6) Με βάση τα αποτελέσματα, τα οποία έχετε εξάγει στα προηγούμενα ερωτήματα, να περιγράψετε κριτήρια μέσω των οποίων μπορούμε να αποφανθούμε ότι μία σχέση της μορφής y = αx+β έχει την ιδιότητα όταν αυξάνεται το x τότε αυξάνεται (ή ελαττώνεται) το y χωρίς πλέον τη χρήση των πινάκων.

7) Να υπολογίσετε το κοινό σημείο των δύο ευθειών. Ποια είναι η σημασία του σημείου για τον ποδηλάτη;

Αναλυτικές οδηγίες στον Καθηγητή.

Το πρόβλημα του ποδηλάτη

Ένας ποδηλάτης ξεκινάει να πάει από μία πόλη Α σε μία πόλη Β, η οποία απέχει 20km από την Α. Ο ποδηλάτης κινείται με σταθερή ταχύτητα και καλύπτει απόσταση 2km κάθε λεπτό.

1) Να συμπληρώσετε τους πίνακες τιμών:

A : Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών

Χρόνος t (σε λεπτά) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Απόσταση που διανύθηκε s (σε χλμ)                      

Όταν αυξάνει ο χρόνος (t), τι παρατηρείτε για τη τιμή της απόστασης που διανύθηκε (s);

B : Συμπληρώστε τον πίνακα τιμών

Χρόνος t (σε λεπτά) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Απόσταση που απέμεινε s (σε χλμ)                      

Όταν αυξάνει ο χρόνος (t), τι παρατηρείτε για τη τιμή της απόστασης που απέμεινε (s);

2) Όταν αυξάνει ο χρόνος t τι παρατηρείτε για τις τιμές των αποστάσεων; Ποια σχέση συνδέει τον χρόνο t με την απόσταση S που διανύθηκε και ποια τον χρόνο t με την απόσταση που απέμεινε όπως προκύπτει από τα ζεύγη των τιμών στους πίνακες Α και Β.

3) Χρησιμοποιώντας το λογισμικό εισάγετε του παραπάνω πίνακες Α,Β στον Η/Υ ως εξής: Φέρτε ένα παράθυρο Table και εισάγετε τις τιμές από την τέταρτη γραμμή και κάτω όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. (Σχήμα 1.1)

4) Δημιουργήστε δύο σύνολα σημείων με βάση αυτούς τους δύο πίνακες: Επιλέξτε τις στήλες x και y (Σχήμα 1.1) και με Send ……… Points το Graph εμφανίζεται πρώτο σύνολο σημείων. Μετακινήστε την ένδειξη y στη διπλανή στήλη όπως φαίνεται στην εικόνα ( Σχήμα 1.1β). Επιλέξτε τις στήλες x και y και με Send ……… Points το Graph εμφανίζεται το δεύτερο σύνολο σημείων (Σχήμα 1.2).

5) Δημιουργήστε δύο γραμμές, μία για κάθε σύνολο σημείων, που περνούν από τα σημεία ως εξής: (ακολουθεί η σελίδα χωρίς τον τύπο της συνάρτησης (S = 2t+20). Συγκρίνετε τους τύπους που προέκυψαν στην οθόνη με αυτούς που έχετε υπολογίσει στο 2ο ερώτημα.

6) Με βάση τα αποτελέσματα, τα οποία έχετε εξάγει στα προηγούμενα ερωτήματα, να περιγράψετε κριτήρια μέσω των οποίων μπορούμε να αποφανθούμε ότι μία σχέση της μορφής y = αx+β έχει την ιδιότητα όταν αυξάνεται το x τότε αυξάνεται (ή ελαττώνεται) το y χωρίς πλέον τη χρήση των πινάκων.

7) Να υπολογίσετε το κοινό σημείο των δύο ευθειών. Ποια είναι η σημασία του σημείου για τον ποδηλάτη;

Σχήμα 1.1

Επιλέξτε τις στήλες x και y και δημιουργήστε το πρώτο σύνολο σημείων με Send…Points To Graph.

Μετακινήστε την ένδειξη y στη διπλανή στήλη όπως φαίνεται στην επόμενη εικόνα.

Επιλέξτε τις στήλες x και y και δημιουργήστε το δεύτερο σύνολο σημείων με Send…Points

Σχήμα 1.1.β

Οπότε θα πρέπει σε ένα παράθυρο Graph να εμφανιστούν τα παρακάτω σημεία όπως φαίνονται στο σχήμα 1.2

Σχήμα 1.2

Κίνηση 1: Δημιουργία της ευθείας που διέρχεται από το πρώτο σύνολο σημείων.

(Μαρκάρουμε το σύνολο σημείων και κατόπιν στο παράθυρο toolbar επιλέγουμε το εικονίδιο όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.)

Ο τύπος της συνάρτησης (s = 2t+0) φαίνεται στο πάνω μέρος του παραθύρου Graph.

Κίνηση 2: Δημιουργία της ευθείας που διέρχεται από το δεύτερο σύνολο σημείων.

(Μαρκάρουμε το σύνολο σημείων και κατόπιν στο παράθυρο toolbar επιλέγουμε το εικονίδιο όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.)

Ο τύπος της συνάρτησης (s = -2t+20) φαίνεται στο πάνω μέρος του παραθύρου Graph.

Αποτέλεσμα των κινήσεων 1 και 2 είναι το σχήμα 1.3

Σχήμα 1.3

Οι φάσεις της δραστηριότητας :

Φ1) Αφού ο καθηγητής προμηθεύσει σε κάθε ομάδα ένα φύλλο εργασίας ζητά να γίνει συμπλήρωση του πίνακα Α από ένα μέλος και του Β από ένα άλλο μέλος της κάθε ομάδας και στη συνέχεια να εξηγήσει ο καθένας το σκεπτικό με βάση το οποίο έγινε η συμπλήρωση. Αμέσως μετά ζητά από μία ομάδα, η οποία έχει συμπληρώσει σωστά τους πίνακες, να ανακοινώσει τα αποτελέσματα τα οποία καταγράφονται και στον πίνακα.

Φ2) Ο καθηγητής ζητά από τους μαθητές να σκεφτούν πάνω στον τρόπο που συμπλήρωσαν τους πίνακες ώστε να φτάσουν μόνοι τους, αν είναι δυνατόν, στο συμπέρασμα ότι στον πρώτο πίνακα ο κανόνας ήταν y = 2x (s = 2t) ενώ στον δεύτερο y – 20 = -2x (s – 20 = 2t). Πάντως σε κάθε περίπτωση θα πρέπει όλες οι ομάδες να παρατηρήσουν ότι έχουμε σταθερή αύξηση (ή ελάττωση) σε κάθε στήλη (όχι την ίδια για κάθε στήλη). Στην περίπτωση που οι ομάδες δεν καταφέρουν να φτάσουν στη δεύτερη σχέση ο καθηγητής αναβάλει την δραστηριότητα αυτή λέγοντας στους μαθητές ότι αυτό θα γίνει μέσω του υπολογιστή. Η παρατήρηση ότι στον πίνακα Α έχουμε συνεχή αύξηση ενώ στον Β συνεχή ελάττωση θα προηγηθεί.

Φ3) Φ4) Φ5) Γίνεται εισαγωγή των δεδομένων στον υπολογιστή από τον υπεύθυνο για την εργασία αυτή σε κάθε ομάδα. Στο τέλος κάθε φάσης ο καθηγητής σημειώνει στον πίνακα της αίθουσας την εικόνα που θα πρέπει να έχει κάθε οθόνη.

Φ6) Εδώ οι μαθητές συζητούν για τα κριτήρια που έχουν προκύψει ώστε να καταλήξουν στη συσχέτιση του συντελεστή 2 στη σχέση S = 2t με την αύξουσα και την οξεία γωνία και του -2 στην S = -2t+20 με τη φθίνουσα και την αμβλεία γωνία. Το τελικό σχήμα που παραμένει στον πίνακα της αίθουσας είναι:

y=2x, y=-2x+20

Φ7) Το κοινό σημείο των δύο ευθειών ζητείται να προσδιοριστεί από το γράφημα και είναι το (5,10). Εδώ ο καθηγητής καλεί τις ομάδες να σκεφτούν και άλλον τρόπο, εκτός του γραφήματος, για τον υπολογισμό του σημείου τομής. Η παρατήρηση ότι στο κοινό σημείο η απόσταση από την πόλη Α είναι ίδια με την απόσταση από την πόλη Β οδηγεί στην ισότητα 2t = -2t + 20 άρα t = 5 και S = 10 δηλαδή ουσιαστικά στη λύση ενός συστήματος. Σχηματικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι οι φάσεις για την υλοποίηση της δραστηριότητας είναι οι παρακάτω:

Αρχή

9. ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Η αξιολόγηση των μαθητών αλλά και της όλης δραστηριότητας θα γίνει μέσα από ένα φύλλο αξιολόγησης μέσα από το οποίο θα έχει τη δυνατότητα ο διδάσκων να ελέγξει αν η όλη διαδικασία απέδωσε τα αναμενόμενα αποτελέσματα (Δες παρ.5).

Φύλλο αξιολόγησης.

Ερώτηση 1η (5 μονάδες)

Ποιοι από τους παρακάτω πίνακες μεταβολών παριστάνουν ποσά χ και y των οποίων η σχέση έχει γραφική παράσταση μία ευθεία.

x
y
1
-1
2
2
3
-3
4
4
5
-5
6
6
x
y
1
3
3
9
5
15
7
21
9
27
11
33
x
y
-1
1/2
-2
1
-3
3/2
-4
2
-5
5/2
-6
3
x
y
1
-1
2
0
3
1
4
2
5
3
6
4
x
y
2
-4
4
-6
5
-10
6
-12
7
-14

α) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας χωρίς τη βοήθεια του Η/Υ (3 μονάδες).
β) Να ελέγξετε την ορθότητα της απάντησής σας μέσω του υπολογιστή. Να εξηγήσετε, εφ’ όσον τα αποτελέσματα στον Η/Υ συμφωνούν με αυτά της ερώτησης α), την ορθότητα των απαντήσεων που έχετε δώσει στο α) (2 μονάδες).

Ερώτηση 2η (5 μονάδες)

Σε όσους από τους παραπάνω πίνακες η σχέση μεταξύ των x και y έχει γραφική παράσταση με ευθεία να δώσετε τη σχέση που συνδέει τα x και τα y. α) Χωρίς τη χρήση του υπολογιστή (1 μονάδα για κάθε πίνακα).

β) Με τη χρήση του υπολογιστή (2 μονάδες).

Ερώτηση 3η (5 μονάδες)

Ποιες από τις σχέσεις της 2ης ερώτησης είναι αύξουσες συναρτήσεις και ποιες φθίνουσες; α) Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας χωρίς τη χρήση υπολογιστή(3 μονάδες).

β) Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις με τη χρήση του υπολογιστή(2 μονάδες).

Ερώτηση 4η (5 μονάδες)

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων που είναι ευθείες. α) Χωρίς τη χρήση υπολογιστή (3 μονάδες).

β) Με τη χρήση του υπολογιστή (2 μονάδες).

Απαντήσεις στο φύλλο αξιολόγησης

Ε1) Στους πίνακες Β,Γ,Δ για ίσες μεταβολές του x αντιστοιχούν ίσες μεταβολές άρα παριστάνουν ευθείες. (έλεγχος της απάντησης με εισαγωγή των πινάκων στον υπολογιστή και εύρεση των σημείων) (5 μονάδες).

Ε2) Η εύρεση μπορεί να γίνει μέσω της παρατήρησης των αναλογιών y/x=3 για τον Β , y/x=-1/2 για τον Γ και της x-2=y για τον Δ πίνακα (3 μονάδες). Η εύρεση μπορεί να γίνει μέσω του υπολογιστή (2 μονάδες).

Ε3) Η y=3x και y=x-3 είναι σχέσεις αύξουσας συνάρτησης ενώ η y=-1/2x φθίνουσας αφού. α) Οι συντελεστές του x στις δύο πρώτες είναι θετικοί ενώ στην τρίτη αρνητικός (3 μονάδες) ή

β) Οι δύο πρώτες έχουν γραφικές παραστάσεις οξείας γωνίας ενώ η τρίτη αμβλείας μέσω του υπολογιστή (2 μονάδες).

Ε4) α) Οι ευθείες είναι οι (ε1) y=3x ,(ε2) y=-1/2x και (ε3) y=x-2 . Οι (ε1), (ε2) έχουν κοινό σημείο το (0,0). Οι (ε1),(ε3) το σημείο (-1,-3) αφού 3x=x-2 και οι (ε2),(ε3) το σημείο (4/3,-2/3) αφού -1/2x=x-2. (3 μονάδες) ή

β) Οι γραφικές παραστάσεις στον υπολογιστή δίδουν τις συντεταγμένες αυτών των σημείων (2 μονάδες)

Αρχή

10. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

  1. Αναλυτικά προγράμματα μαθηματικών για τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση (Παιδαγωγικό Ινστιτούτο).

  2. Σχολικά εγχειρίδια μαθηματικών.

  3. fprobe. Εγχειρίδιο Χρήσης.

Αρχή

Bitnami