TeleMath – Διδακτική Μαθηματικών – Αναλυτικά Προγράμματα

3.1 Γενικοί σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο

Τα Μαθηματικά συμβάλλουν στη γενικότερη πνευματική καλλιέργεια και στην ολοκλήρωση της προσωπικότητας του μαθητή, αφού αποτελούν μέρος της πολιτισμικής κληρονομιάς της ανθρωπότητας. Συγκεκριμένα, βοηθούν στην ανάπτυξη του κριτικού πνεύματος και της συγκροτημένης σκέψης, που συνοδεύεται από δημιουργική φαντασία. Ειδικότερα με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στο Γυμνάσιο επιδιώκεται:

α) Να εμπεδωθεί καλύτερα και να συμπληρωθεί η ύλη που διδάχτηκε στο Δημοτικό Σχολείο, ώστε οι μαθητές να εφοδιαστούν με όλες τις μαθηματικές γνώσεις που είναι απαραίτητες για τη ζωή και την περαιτέρω μελέτη και εκπαίδευση.

β) Να εμπλουτιστούν οι εμπειρίες των μαθητών με εφαρμογές από την καθημερινή ζωή, την τεχνολογία και τις άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες, ώστε να αναπτυχθεί μια θετική στάση των μαθητών προς τα Μαθηματικά.

γ) Να εισαχθούν οι μαθητές στην αποδεικτική διαδικασία και να συνειδητοποιήσουν ότι αυτό αποτελεί χρήσιμο εργαλείο για την επαλήθευση γενικών νόμων.

Στις γυμνασιακές τους σπουδές οι μαθητές θα έλθουν σε επαφή με νέες ιδέες και έννοιες καθώς και με κλάδους των Μαθηματικών όπως:

  • Η Γεωμετρία όπου επιδιώκεται:

    • Η αναγνώριση και ταξινόμηση των βασικών γεωμετρικών σχημάτων.

    • Η κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων με χρήση αβαθμολόγητου κανόνα και διαβήτη.

    • Η μελέτη των σχέσεων της ισότητας, της παραλληλίας και της ομοιότητας.

    • Ο υπολογισμός εμβαδών και όγκων.

  • Η Στατιστική όπου με τη συλλογή, οργάνωση και γραφική παράσταση αριθμητικών δεδομένων επιδιώκεται η εξαγωγή σχετικών συμπερασμάτων.

  • Η ‘Αλγεβρα όπου επιδιώκεται:

    • Η ανάπτυξη δεξιοτήτων στο λογισμό με πολυωνυμικές και ρητές παραστάσεις.

    • Η επίλυση εξισώσεων, ανισώσεων και γραμμικών συστημάτων.

    • Ο ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών και η χρησιμοποίησή τους στην επίλυση προβλημάτων.

    • Η εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης με κατάλληλα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή.

3.2 Στόχοι-περιεχόμενα της διδασκαλίαςτων Μαθηματικών στο Γυμνάσιο.

3.2.1 Τάξη Α΄

Στόχοι

Περιεχόμενα

Εκτελούν με ευχέρεια τις πράξεις μεταξύ ακεραίων, δεκαδικών και κλασματικών αριθμών. Χρησιμοποιούν την έννοια της μεταβλητής για την διατύπωση των ιδιοτήτων των πράξεων και την επίλυση απλών εξισώσεων.

Πράξεις με φυσικούς, δεκαδικούς και κλασματικούς αριθμούς.

Οι αριθμοί (φυσικοί-δεκαδικοί- κλασματικοί) και οι τέσσερις πράξεις μεταξύ αυτών είναι ήδη γνωστές από το Δημοτικό Σχολείο. Ο αριθμητικός λογισμός στην τάξη αυτή έχει επαναληπτικό χαρακτήρα και θα εξυπηρετηθεί μέσα από προβλήματα της καθημερινής ζωής. Η εισαγωγή των πράξεων, η εμπέδωση της τεχνικής τους και η απόκτηση των στοιχειωδών αυτοματισμών μέσα από κατάλληλα προβλήματα σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας συμβάλλει στην ανάπτυξη του ενδιαφέροντος του μαθητή για τα Μαθηματικά και αναδεικνύεται έτσι η αναγκαιότητα του αριθμητικού λογισμού.

Εκτιμούν το μέτρο ενός μεγέθους ή το αποτέλεσμα μιας πράξης.

Στρογγυλοποίηση αριθμών.

Η ενασχόληση με την εκτίμηση πρέπει να έχει χρονική διάρκεια και κάθε φορά πριν από τη μέτρηση ενός μεγέθους ή τη λύση ενός προβλήματος να εκτιμάται το αναμενόμενο αποτέλεσμα.

Η εκτίμηση ενός αποτελέσματος να ελέγχεται, όπου είναι δυνατό, ώστε η απόκλισή της από το πραγματικό αποτέλεσμα να είναι τελικά μέσα σε ανεκτά όρια.

Χρησιμοποιούν το κλάσμα ως τελεστή και ως πηλίκο και λύνουν προβλήματα με τις πράξεις μεταξύ των κλασμάτων

Κλάσματα-ποσοστά.

Η παρουσίαση της έννοιας του κλάσματος καθώς και των πράξεων δίνεται εποπτικά με κατάλληλα παραδείγματα. Ειδικά η διαίρεση κλασμάτων παρουσιάζεται ως αντίστροφη πράξη του πολ/σμού.

Διακρίνουν τα ανάλογα και τα αντιστρόφως ανάλογα ποσά και επιλύουν βασικά προβλήματα εφαρμογών.

Ποσά ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα.

Η κατανόηση των εννοιών θα γίνει μέσα από παραδείγματα και αντιπαραδείγματα. Με την κατασκευή πινάκων αντιστοίχων τιμών δύο αναλόγων ή αντιστρόφως αναλόγων ποσών θα γίνουν οι σχετικές γραφικές παραστάσεις και θα βρεθούν οι σχέσεις που συνδέουν τις αντίστοιχες τιμές τους. Θα γίνουν εφαρμογές σε προβλήματα ποσοστών, τόκου, κλιμάκων, μερισμού κτλ.

Χρησιμοποιούν αποτελεσματικά τα γεωμετρικά όργανα για τις μετρήσεις και τις κατασκευές γεωμετρικών σχημάτων.

Ευθεία-Κύκλος-Γωνία.

Τα όργανα που χρησιμοποιούνται είναι: Κανόνας (αριθμημένος για μετρήσεις και μη αριθμημένος για κατασκευές), γνώμονας, μοιρογνωμόνιο, διαβήτης και διαφανές χαρτί.

Διακρίνουν τα βασικά γεωμετρικά σχήματα και γνωρίζουν τις ιδιότητές τους.

Καθετότητα, παραλληλία, συμμετρίες.

Οι ιδιότητες θα ανακαλύπτονται εμπειρικά με γεωμετρικά όργανα, διαφανές χαρτί ή δίπλωση.

Χρησιμοποιούν κατάλληλες στρατηγικές για την επίλυση προβλημάτων.

Επίλυση προβλημάτων.

Επιλύονται προβλήματα που απαιτούν όλες τις προηγούμενες γνώσεις των μαθητών.

Ακριβολογούν και χρησιμοποιούν σε ένα πρώτο επίπεδο τη μαθηματική ορολογία.

Η μετάβαση από τον ελεύθερο στον πειθαρχημένο λόγο θα γίνει σταδιακά μέσα από τη διατύπωση, προφορικά ή γραπτά, της σκέψης για τη λύση ενός προβλήματος, της δικαιολόγησης ισχυρισμών ή ακόμη και την απομνημόνευση ορισμών ή κανόνων.

Στόχοι

Περιεχόμενα

Εκτελούν με ευχέρεια τις πράξεις μεταξύ των ρητών αριθμών και να εκτιμούν τα αποτελέσματά τους

Ρητοί αριθμοί.

Η τεχνική των πράξεων εξηγείται με κατάλληλα παραδείγματα μεγεθών που παρουσιάζουν αντίθεση. Για εξοικείωση με τις πράξεις θα προηγηθούν παραδείγματα με πράξεις μεταξύ ακεραίων και στη συνέχεια μεταξύ ρητών. Η εκτίμηση του αποτελέσματος χρησιμοποιείται ευκαιριακά όταν γίνεται επεξεργασία κατάλληλου θέματος.

Χρησιμοποιούν το σχετικό αλγόριθμο για τη λύση μιας εξίσωσης ή ανίσωσης με έναν άγνωστο.

Εξισώσεις, ανισώσεις.

Η λύση μιας εξίσωσης επιβεβαιώνεται με επαλήθευση. Ο αλγόριθμος της λύσης μιας εξίσωσης εφαρμόζεται για την επίλυση γνωστών τύπων από τη Φυσική και τη Γεωμετρία.

Λύνοντας προβλήματα πρακτικής αριθμητικής με εξισώσεις διαπιστώνεται η δυναμική της νέας αντιμετώπισης. Το αποτέλεσμα ενός προβλήματος καταρχήν εκτιμάται και στο τέλος ελέγχεται αν είναι αποδεκτό ή όχι.

Εφαρμόζουν το Πυθαγόρειο Θεώρημα.

Άρρητοι αριθμοί.

Η ανάγκη για την εισαγωγή του άρρητου αριθμού προκύπτει από την προσπάθεια υπολογισμού της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετες πλευρές ίσες με τη μονάδα.

Υπολογίζουν μήκη, εμβαδά και όγκους γεωμετρικών σχημάτων.

Εμβαδά – όγκοι.

Με μετρήσεις πραγματικών αντικειμένων μπορεί να γίνει η καταρχήν εκτίμηση του μήκους, του εμβαδού ή του όγκου. Με κατάλληλα παραδείγματα προκύπτει ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν του ορθογωνίου και στη συνέχεια δίνονται οι τύποι για τα εμβαδά βασικών ευθυγράμμων σχημάτων. Η εύρεση του μήκους του κύκλου και του εμβαδού κυκλικού δίσκου εξηγούνται διαισθητικά, ενώ το μήκος τόξου και το εμβαδόν κυκλικού τομέα υπολογίζονται με την απλή μέθοδο των τριών.

Οι τύποι μέτρησης στερεών χρησιμοποιούνται χωρίς απόδειξη. Για τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειας ενός στερεού χρησιμοποιείται το ανάπτυγμά της όταν αυτό είναι εφικτό.

Συλλέγουν, οργανώνουν στατιστικά δεδομένα, παρουσιάζουν γραφικά τις κατανομές τους και υπολογίζουν βασικές παραμέτρους.

Περιγραφική στατιστική.

Στατιστικά δεδομένα μπορούν να συγκεντρώνονται από τον ίδιο το μαθητή και η επιλογή παραδειγμάτων μπορεί να γίνεται από δημοσιεύματα διαφόρων εντύπων.

Αναγνωρίζουν τα διανυσματικά μεγέθη και εκτελούν τις βασικές πράξεις διανυσμάτων

Διανύσματα.

Η έννοια του διανύσματος καθώς και οι πράξεις μεταξύ διανυσμάτων προκύπτουν από τη θεώρηση κατάλληλων διανυσματικών μεγεθών, όπως η ταχύτητα και η δύναμη.

Χρησιμοποιούν κατάλληλες στρατηγικές για την επίλυση προβλημάτων.

Επίλυση προβλημάτων.

Επιλύονται προβλήματα που απαιτούν όλες τις προηγούμενες γνώσεις των μαθητών.

Στόχοι

Περιεχόμενα

Μετασχηματίζουν αλγεβρικές παραστάσεις.

Αλγεβρικές παραστάσεις.

Οι πράξεις μεταξύ πολυωνυμικών παραστάσεων στηρίζονται στη γνώση των ιδιοτήτων των δυνάμεων, την απαλοιφή παρενθέσεων και την επιμεριστική ιδιότητα, ενώ οι πράξεις μεταξύ κλασματικών παραστάσεων γίνονται κατ’ αναλογία προς τα αριθμητικά κλάσματα. Οι βασικές ταυτότητες θα αποδειχθούν με εκτέλεση των πράξεων που σημειώνονται και θα χρησιμοποιηθούν για τη σύντομη εκτέλεση άλλων πράξεων ή για την παραγοντοποίηση παραστάσεων.

Βρίσκουν τη συνάρτηση που ενδεχομένως συνδέει δύο μεγέθη.

Συναρτήσεις.

Με κατάλληλα παραδείγματα διαπιστώνεται ότι υπάρχουν μεγέθη που συσχετίζονται έτσι ώστε όταν γνωρίζουμε μια τιμή του ενός βρίσκουμε μια μόνο τιμή για το άλλο, μέσα από μια διαδικασία η οποία εκφράζεται συνήθως με ένα τύπο, και η οποία λέγεται συνάρτηση. Ιδιαίτερη έμφαση στη χρήση γραφικών παραστάσεων

Επιλύουν εξισώσεις β΄ βαθμού.

Εξισώσεις.

Η εισαγωγή στις εξισώσεις β΄ βαθμού θα γίνει με κατάλληλα προβλήματα. Η εξίσωση β΄ βαθμού θα λυθεί με τη μέθοδο της συμπλήρωσης του τετραγώνου. Θα λυθούν επίσης κλασματικές εξισώσεις καθώς και εξισώσεων που ανάγονται σε εξισώσεις α΄ ή β΄ βαθμού

Επιλύουν συστήματα γραμμικών εξισώσεων και ανισώσεων

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων και ανισώσεων.

Θα εξηγηθεί γραφικά το πλήθος των λύσεων ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων με δυο αγνώστους. Η λύση συστημάτων γραμμικών ανισώσεων εφαρμόζεται σε απλά προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού.

Εφαρμόζουν τις τριγωνομετρικές σχέσεις στην επίλυση απλών γεωμετρικών σχημάτων.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί.

Αναφορά στο θεώρημα του Θαλή καθώς και στα όμοια σχήματα με την έννοια της μεγέθυνσης ή σμίκρυνσης. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί θα ορισθούν για την οξεία και για την αμβλεία γωνία.

Η επίλυση τριγώνων ή και απλών σχημάτων θα γίνει και με τη βοήθεια των νόμων των ημιτόνων και των συνημιτόνων.

Υπολογίζουν την πιθανότητα ενός ενδεχομένου.

Πιθανότητες.

Με κατάλληλα παραδείγματα θα γίνει η εισαγωγή της έννοιας του συνόλου. Οι πράξεις των συνόλων θα εξηγηθούν γραφικά.

Η προσέγγιση της έννοιας της πιθανότητας ενός ενδεχομένου θα γίνει με τη βοήθεια της σχετικής συχνότητας.

Χρησιμοποιούν κατάλληλες στρατηγικές για την επίλυση προβλημάτων.

Επίλυση προβλημάτων.

Επιλύονται προβλήματα που απαιτούν όλες τις προηγούμενες γνώσεις των μαθητών.

Bitnami