TeleMath – Μαθηματικά Μικροεφαρμογίδια, από τον Walter Fendt

Μαθηματικά Εφαρμογίδια

Πράξεις με Μιγαδικούς αριθμούς σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες

Μπορείτε να κινείτε τις κορυφές των διανυσμάτων κρατώντας πατημένο επάνω τους το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού.

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

Έζησε, κατά πάσα πιθανότητα, στο διάστημα (265-170 π.Χ.).

  • Μεγάλος μελετητής της γεωμετρίας έζησε, σπούδασε και δίδαξε στην Αλεξάνδρεια. Καθηγητής του Μουσείου της πόλης του, θεωρείται σαν ο τρίτος μεγαλύτερος μαθηματικός μετά τον Αρχιμήδη και τον Ευκλείδη.

  • Ο Απολλώνιος αν και κορυφαίος μελετητής του Μουσείου, αναφέρεται ως ματαιόδοξος και υπερόπτης. Από το πλήθος των έργων του ελάχιστα σεβάστηκε ο χρόνος με κορυφαίο από αυτά τα “Κωνικά” του. Ενδεικτικός είναι ο κατάλογος των έργων του, που μνημονεύτηκαν.

    Σώθηκαν Χάθηκαν
    Κωνικά (8 βιβλία) Περί χωρίου αποτομής (2 βιβλία)
    Περί λόγου αποτομής (2 βιβλία) Περί επαφών (2 βιβλία)
    Κατασκευή δύο μέσων αναλόγων Περί νεύσεων (2 βιβλία)
    Σύγκριση 12/εδρου και 20/εδρου Επίπεδοι τόποι (2 βιβλία)

    Ο κύκλος του Απολλωνίου
    Περί ατάκτων αλόγων
    Ωκυτόκιο
    Περί κοχλίου ή ελίκων
    Η καθόλου πραγματεία
    Περί του πυρίου
    Περί της κατασκευής υδραυλικού αρμονίου
    Αστρονομικό σύγγραμμα αγνώστου τίτλου
    Θεωρία αριθμών
    Περί λογιστικών
    Αναλυόμενος τόπος
    Κατασκευές ωρολογίων
    Οπτική
    Διωρισμένη τομή

  • Έργο ζωής από αυτά αποτέλεσε για τον Απολλώνιο το με τίτλο “Κωνικά”. Αυτό είναι το μόνο το οποίο σώθηκε από τα αντίστοιχα προγενέστερα έργα των Μεναίχμου, Αρισταίου (5 βιβλία), Ευκλείδη (4 βιβλία) και Αρχιμήδη. Από τα 8 βιβλία του έργου σώθηκαν τα 7, τα οποία περιέχουν 21 ορισμούς, 373 θεωρήματα, 10 πορίσματα και 14 προβλήματα. Ειδικά το 5ο βιβλίο των κωνικών, μαζί με το 5ο των Στοιχείων και το “Περί Ελίκων” του Αρχιμήδη θεωρούνται ως τα κορυφαία αριστουργήματα της Ελληνικής γεωμετρίας.

  • Το Δήλιο πρόβλημα αποτέλεσε αντικείμενο μελέτης του, το οποίο και το έλυσε με τη βοήθεια της τομής ενός κύκλου και μιας υπερβολής.

  • Στην Αστρονομία ο σοφός μας υπήρξε ο εισηγητής του γεωκεντρικού συστήματος των “εκκέντρων κύκλων και επικύκλων”, για την ερμηνεία των κινήσεων του ουρανού κατά τρόπο σύμφωνο προς τις παρατηρήσεις.

TeleMath – Ρωσικοί Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Ρωσικοί Μαθηματικοί Διαγωνισμοί

Αρχείο Θεμάτων

Η Ρωσία έχει μεγάλη παράδοση στη διεξαγωγή Μαθητικών Μαθηματικών Διαγωνισμών, οι οποίοι διενεργούνται με τελικό σκοπό την επιλογή της Ολυμπιακής Ομάδας, η οποία εκπροσωπεί την Ρωσία στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα και τις άλλες διεθνείς Μαθηματικές διοργανώσεις.

Στο αρχείο προβλημάτων περιλαμβάνονται εκατό αντιπροσωπευτικά Θέματα, τα οποία έχουν τεθεί κατά καιρούς σε εσωτερικούς διαγωνισμούς επιλογής στη Ρωσία. Δίνονται υποδείξεις-λύσεις των ασκήσεων στην αγγλική γλώσσα. Οι λύσεις προέρχονται από τις σελίδες του Internet που διατηρεί ο John Scholes, οι οποίες δεν χαρακτηρίζονται σαν πλήρεις λύσεις.

Πάντως πιστεύουμε ότι είναι ένα χρήσιμο εργαλείο στα χέρια εκείνων που ασχολούνται ή πρόκειται να ασχοληθούν με την επίλυση προβλημάτων για Ολυμπιάδες. Στους επόμενους στόχους μας είναι να δώσουμε πλήρεις λύσεις των προβλημάτων στην Ελληνική γλώσσα.

TeleMath – Τηλεπαιχνίδια : Πύργοι του Ανόϊ

Τηλεπαιχνίδια : Πύργοι του Ανόϊ

Οδηγίες :

Ο σκοπός του παιχνιδιού είναι να μεταφερθούν όλοι οι δίσκοι από την αριστερή κολώνα στην δεξιά.

Μπορείτε να μετακινείτε ένα δίσκο κάθε χρονική στιγμή σύρωντάς τον με το ποντίκι έχοντας πατημένο το αριστερό πλήκτρο.

Δεν μπορείτε να τοποθετήσετε ένα μεγαλύτερο δίσκο πάνω από ένα μικρότερο.

Αρχή

TeleMath – Ενδιαφέροντα Μαθηματικά ‘Aρθρα – ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Πολύ συχνά ακούμε ανθρώπους, ιδιαίτερα τους μαθητές, να ρωτούν σε τι μας χρησιμεύουν τα Μαθηματικά. Αυτό το ερώτημα είναι εύλογο αφού ο τρόπος που μαθαίνουμε Μαθηματικά στο σχολείο δεν μας επιτρέπει να διαπιστώσουμε τη σύνδεσή τους με την πραγματική ζωή άρα τη χρησιμότητά τους. Τα πραγματικά προβλήματα, δηλαδή τα προβλήματα που περιγράφουν μια πραγματική κατάσταση, μια κατάσταση του πραγματικού κόσμου είναι αυτά που δείχνουν τον τρόπο με τον οποίο τα Μαθηματικά μας επιτρέπουν να “μαθηματικοποιήσουμε” το φυσικό μας περιβάλλον και τις καταστάσεις του. Αυτή η διαδικασία μας δίνει τη δυνατότητα να καταλαβαίνουμε καλύτερα τον κόσμο και τα φαινόμενα του, να τα ταξινομούμε και πολλές φορές να τα προβλέπουμε! Το ότι γνωρίζουμε τα αποτελέσματα των εκλογών πριν κλείσουν οι κάλπες οφείλεται στην ανάπτυξη του κλάδου των Μαθηματικών που ονομάζεται Στατιστική.

Ένα μετεωρολογικό δελτίο, η πρόβλεψη δηλαδή του καιρού, μπορεί να θεωρηθεί σαν λύση ενός πολύπλοκου πραγματικού προβλήματος.

Τέλος τα θαυμάσια αρχιτεκτονικά έργα και ιδιαίτερα η πειστικότητα της προοπτικής του χώρου σε έναν κλασσικό πίνακα, για παράδειγμα του Ραφαέλο, προέρχονται από την εφαρμογή γνωστών προτάσεων της Γεωμετρίας όπως για παράδειγμα το θεώρημα του Θαλή.

Στέφανος Κείσογλου

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

‘Eζησε στο διάστημα (407-354 π.Χ.).

Μεγάλος μαθηματικός, αστρονόμος, γεωγράφος, μηχανικός και γιατρός υπήρξε ιδρυτής της περίφημης σχολής της Κυζίκου. Αργότερα μετά από πρόσκληση του Πλάτωνα ήλθε με πλήθος μαθητών του στην Αθήνα και ίδρυσε το Φυσικομαθηματικό τμήμα της Ακαδημίας του Πλάτωνα, το οποίο διεύθυνε μέχρι τον θάνατό του.

Στη σχολή αυτή εγκατέστησε όργανα αστρονομικών μετρήσεων μεταξύ των οποίων και την περίφημη Κλεψύδρα της.

Η συμβολή του στα Μαθηματικά υπήρξε μεγάλη. Ενδεικτικά αναφέρονται:

  • Στην Γεωμετρία

    • Έλυσε το Δήλιο πρόβλημα, με άγνωστη σε εμάς λύση.
    • Έγραψε το 5ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, στο οποίο αναπτύσσεται μία γενική θεωρία αναλογιών, συμμέτρων και ασυμμέτρων μεγεθών.
    • Ανάπτυξε και εφάρμοσε τις αρχές της “Μεθόδου εξαντλήσεως” με τη βοήθεια της οποίας πραγματοποίησε υπολογισμούς εμβαδών και όγκων.
    • Απόδειξε, με την μέθοδο του Ιπποκράτη, το θεώρημα του όγκου του Κώνου, το οποίο είχε διατυπώσει παλαιότερα ο Δημόκριτος.
  • Στην Αστρονομία

    • Χαρτογράφησε τους αστερισμούς του Ισημερινού και των Τροπικών κύκλων, και ονομάτισε τους σχηματισμούς τους (Ίππαρχος).
    • Απόδειξε τη σφαιρικότητα της γης, και μάλλον αυτός μέτρησε για πρώτη φορά την περίμετρό της.
    • Πρότεινε το πρώτο μαθηματικό μοντέλο της κίνησης του ουρανού, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις (σώζοντος τα φαινόμενα), το περίφημο σύστημα των ομοκέντρων σφαιρών.
    • Μέτρησε τις περιόδους των 5 πλανητών, δίνοντας τις τιμές: ‘Aρης 2 έτη (πραγμ. 1,88), Δίας 12 έτη (11,86) και Κρόνος 30 έτη (29,46).

Από τα έργα του σημαντικά θεωρούνται τα με τίτλο: “Οκταετηρίς” (ημερολογιακό), “Γης Περίοδος” (κυκλική περιήγηση της Οικουμένης), “Περί Ταχών” (γωνιακών ταχυτήτων των Πλανητών) καθώς και τα περίφημα “Φαινόμενα” (περιγραφή αστερισμών) τα οποία στιχούργησε ο ‘Aρατος.

Εκτός αυτού πιστεύεται ότι συνέβαλε στην απόδειξη της μοναδικότητας των 5 κανονικών πολυέδρων, καθώς και στην μελέτη των ιδιοτήτων της διαίρεσης σε μέσο και άκρο λόγο.

Γενικά λοιπόν το έργο και η προσωπικότητα του Ευδόξου ήταν τέτοια ώστε έγιναν αιτία τα Μαθηματικά στην Αθήνα, και στον Ελληνισμό γενικότερα, να αποκτήσουν ιδιαίτερη αίγλη και εξαιρετικούς μελετητές. Ο ίδιος ο Εύδοξος για το έργο του και την επιρροή του στην Ακαδημία ονομάστηκε ‘Eνδοξος κατά παραφθορά του Εύδοξου.

Αρχή Σελίδας Κατάλογος Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

  • Μεγάλος φιλόσοφος και μαθηματικός ταξίδεψε στον γνωστό τότε κόσμο και έγραψε πλήθος έργων ποικίλου περιεχομένου. Αναφέρεται ένα πλήθος 60 περίπου έργων του, από τα οποία σώζονται περί τα 300 αποσπάσματα. Εισηγητής, μαζί με τον δάσκαλό του Λεύκιππο, της Ατομικής θεωρίας, δέχτηκε ότι όλα στον κόσμο δημιουργούνται από την ένωση μικρότατων υλικών μονάδων, των Ατόμων (που δεν μπορούν πλέον να τμηθούν).

  • Η προσφορά του στα μαθηματικά ήταν μεγάλη, όπως βεβαιώνουν οι τίτλοι των αντίστοιχων έργων του. Το περιεχόμενό τους όμως μας είναι άγνωστο.

    • Κύρια Μαθηματικά του έργα ήταν τα:
      • “Περί Γεωμετρίης” και “Γεωμετρών”.
      • “Περί Αλόγων γραμμών και Νασιών α’, σ'” (Περί Ασυμμέτρων).
      • “Περί Γεωργίης ή Γεωμετρικόν” (Τοπογραφία).
    • Αστρονομικά του έργα:
      • “Μέγας διάκοσμος” και “Ουρανογραφίη” (Σχέδιο του Ουρανού).
      • “‘Aμιλλα Κλεψύδρας (και Ουρανού)” (Χρονομέτρηση Ουρανίων φαινομένων).
      • “Μέγας ενιαυτός ή Αστρονομίη” και “Παράπηγμα” (Ημερολόγιο).
      • “Περί Πλανήτων” και “Αιτίαι Ουράνιαι” (Ουράνια φαινόμενα).
      • “Γεωγραφίη” και “Ωκεανού Περίπλους”.
  • Τα πιο πάνω έργα, καθώς και άλλα ειδικότερου περιεχομένου, δείχνουν την πολυμάθεια και το εύρος των ενδιαφερόντων του σοφού μας. Στην Αστρονομία εκτός των άλλων:

    • Ανακάλυψε ότι όλα τα νυχθήμερα έχουν ίδια διάρκεια, και μέτρησε τη διάρκεια των μεγί-στων ημερών στην Μακεδονία (τις βρήκε ίσες με τα 5/8 του σταθερού χρόνου του νυχθημέ-ρου).
    • Πρότεινε στο έργο του “Πολογραφίη” μέθοδο για τον σχεδιαστικό προσδιορισμό του αόρα-του ουράνιου Πόλου, με τη βοήθεια γεωμετρικής κατασκευής.

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

‘Ακμασε γύρω στο 250 μ.χ στην Αλεξάνδρεια.

Έλληνας μαθηματικός, εκπρόσωπος της αρχαίας Έλληνικής ‘Αλγεβρας. Τον τίτλο αυτό τον κέρδισε με το έργο του ‘Αριθμητικά, στο οποίο περιέχονται 189 αλγεβρικά προβλήματα, τα οποία λύνονται με εξισώσεις και συστήματα πρώτου και δευτέρου βαθμού. Το πλήθος των προβλημάτων αυτών περιέχεται στα 6 σωσμένα βιβλία του έργου, στην ελληνική γλώσσα. Το σύνολο των βιβλίων του έργου ήταν 13, από τα οποία διασώθηκαν 6 στην Ελληνική γλώσσα και 4 στην Αραβική (ανακαλύφθησαν το 1974)

Σήμερα είναι γνωστά τα έργα του :

  • “Αριθμητικά” (13 βιβλία, σώθηκαν τα 10) Παρίσι 1621/ Αθήνα 1963

  • “Περί Πολυγώνων Αριθμών” (Σώθηκε)

  • “Πορίσματα” (Χάθηκε)

  • “Μοριαστικά” (Περί Μορίων-κλασμάτων, χάθηκε)

Χαρακτηριστικό παράδειγμα του έργου είναι το πρόβλημα 8/ΙΙ

“Να αναλυθεί τετράγωνος αριθμός σε άθροισμα δύο τετραγώνων αριθμών”

Εστω λοιπόν οτι ζητείται να αναλυθεί ο τετράγωνος 16 σε άθροισμα δύο τετραγώνων. Θεωρεί ως ζητούμενους τετράγωνους τους x2 και (νx-4)2, όπου ν τυχαίος ακέραιος Οπότε έχει : 16=x2+(2x-4)2 ή 0=x2+4x2-16x.

To έργο “Αριθμητικά” είναι το τρίτο έργο ‘Αλγεβρας της αρχαιότητας, με τη χρήση αλγεβρικών συμβόλων και επιλύσεις ακόμα και ανισώσεων δευτέρου βαθμού. Μέσα του υπάρχει και μία επίλυση τριτοβάθμιας εξίσωσης. Πολλά από τα προβλήματα του έργου είναι “Απροσδιόριστης ανάλυσης” δηλαδή δίνονται οι ακέραιες λύσεις τους, χωρίς όμως αυτό να ζητείται ρητά απο τον Διόφαντο. Σήμερα πάντως “Διοφαντικές” λέγονται εκείνες οι εξισώσεις της οποίας ζητούνται οι ακέραιες λύσεις.

Αρχή Σελίδας Κατάλογος Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

ΜΕΝΕΛΑΟΣ ο ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ

‘Eζησε και έδρασε τον 1-2 αι. μ.Χ..

Μαθηματικός και μετρητής αστρονόμος αναφέρεται ότι το 98 μ.Χ. έκανε αστρονομικές παρατηρήσεις στην Ρώμη. Από τα γεωμετρικά και αστρονομικά έργα του σώθηκε μόνο ένα με θέμα του τη Σφαιρική γεωμετρία.
Το έργο αυτό είναι προϊόν των εκτεταμένων ερευνών του Μενελάου, φέρει τον τίτλο “Σφαιρική” και σώθηκαν μόνο οι μεταφράσεις του στην Αραβική και Εβραϊκή.

Συνοπτικά οι γνωστές μας προσφορές του Μενελάου στα αρχαία μαθηματικά είναι:

  • Το έργο “Σφαιρική” σε 3 βιβλία, με περιεχόμενο:

    • Το πρώτο θεμελιώνει την πρώτη μη Ευκλείδεια γεωμετρία, τη Σφαιρική, στην οποία πρωτεύοντα ρόλο παίζουν οι μέγιστοι κύκλοι σφαίρας, ενώ στην Ευκλείδεια γεωμετρία τον έπαιζαν οι ευθείες. Εδώ εισάγονται για πρώτη φορά στην επιστήμη τα σφαιρικά τρίγωνα και μελετώνται διάφορες προτάσεις ισότητας και ανισότητας των στοιχείων τους.
    • Το δεύτερο είναι καθαρά αστρονομικού περιεχομένου, ενώ
    • Το τρίτο θεμελιώνει τη Σφαιρική Τριγωνομετρία.

    Στο έργο του αυτό ο Μενέλαος παρουσιάζει πολλές ομοιότητες και αντιστοιχίες των σφαιρικών τριγώνων με τα επίπεδα, τονίζοντας τις εξαιρέσεις.

  • Η συγκρότηση πινάκων χορδών κύκλου είναι η τρίτη γνωστή προσφορά του, αν και προϋπήρχε ο αντίστοιχος πίνακας του Ιππάρχου. Οι πίνακες αυτοί περιέχονται στο χαμένο έργο του “Περί υπολογισμού των χορδών κύκλου” σε 6 βιβλία, από το οποίο μάλλον άντλησε αργότερα ο Πτολεμαίος.

Σήμερα ο Μενέλαος θεωρείται ως ο κύριος θεμελιωτής της σφαιρικής τριγωνομετρίας, με προ-σφορά του ένα έργο, τη “Σφαιρική”, το οποίο αποτελεί την τελική μορφή των προγενέστερων σφαιρικών, με μία σχεδόν πλήρη αναλογία θεωρημάτων προς τα αντίστοιχα της τότε γεωμετρίας του επιπέδου.

Αρχή Σελίδας Κατάλογος Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

‘Eζησε στο διάστημα (640-546 π.Χ.).

  • Σε όλη την αρχαιότητα θαυμάζονταν ως μεγάλος σοφός, με αποτέλεσμα περί το 582 π.Χ. να χαρακτηριστεί σαν ο πρώτος σοφός του Ελληνισμού.

  • Στα Μαθηματικά συνεισέφερε με τις μελέτες του στην Γεωμετρία και την Αστρονομία. Ειδικότερα η προσφορά του κατά τομέα ήταν η παρακάτω:

    • Στην ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
      • Εισήγαγε την έννοια των παραλλήλων ευθειών.
      • Εισήγαγε την έννοια των γωνιών και τα πρώτα τους θεωρήματα.
      • Μελέτησε τους Σκιοθηρικούς γνώμονες και τα τρίγωνά τους με τις σκιές τους.
      • Εισήγαγε την απόδειξη των γεωμετρικών προτάσεων, στηριγμένη σε ορισμούς, αξιώματα και κοινές έννοιες της Λογικής.
      • Ανακάλυψε κριτήρια ισότητας και ομοιότητας τριγώνων.
      • Ανακάλυψε το ομώνυμό του, Θεώρημα του Θαλή.
      • Ανακάλυψε το θεώρημα της γωνίας της εγγεγραμμένης στο Ημικύκλιο.
      • Εκτιμάται ότι ανακάλυψε το θεώρημα των τριών γωνιών τριγώνου.
      • Υπολόγισε με όμοια τρίγωνα το ‘Yψος των Πυραμίδων (περί το 565 π.Χ.).
      • Υπολόγισε με όμοια τρίγωνα την απόσταση πλοίου από το λιμάνι.

    • Στην ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ
      • Ανακάλυψε (με σκιοθηρικό γνώμονα) την ανισότητα των εξαμήνων (θερινού και χει-μερινού).
      • Μέτρησε τη διάρκεια του έτους (365 ημέρες).
      • Μελέτησε τις τροπές και τις ισημερίες του ‘Hλιου και ανέπτυξε μεθόδους εντοπισμού των αντίστοιχων ημερών μέσα στο έτος.
      • Ανέπτυξε μέθοδο υλοποίησης στο έδαφος της ακριβούς διεύθυνσης Βορράς-Νότος.
      • Εκτιμάται ότι πρόβλεψε μία έκλειψη Ηλίου (Μάιος 585 π.Χ.).
      • ‘Eγραψε τα βιβλία “Περί Τροπής και Ισημερίας” και “Ναυτική Αστρολογία”.

Οι ενασχολήσεις αυτές οδήγησαν στην ανάπτυξη της Ελληνικής Θεωρητικής Γεωμετρίας και στην απόσπασή της από το σύνολο των εμπειρικών γνώσεων των τεχνών της ζωής.

Βασική του αρχή, για την προέλευση του κόσμου, ήταν η παραδοχή ότι τα πάντα προέρχονται από το ΝΕΡΟ. Η πρωτοπόρα αυτή άποψη για την ενιαία υλική βάση του Σύμπαντος, τον οδήγησε στην δεύτερη βασική του εκτίμηση ότι η Γη μας είναι επίπεδη και επιπλέει στα νερά του μεγάλου Ω-κεανού.

Το σύνολο του έργου του προκάλεσε τον θαυμασμό όλων των Προσωκρατικών Φιλοσόφων, οι οποίοι από τον Θαλή και μετά θεωρούσαν υποχρέωσή τους να καταθέτουν γραπτά τις απόψεις τους, για τα τότε ερωτήματα, σε έργα με τον συνήθη τίτλο “Περί Φύσεως”. Έτσι από τον Θαλή και μετά όλοι οι Προσωκρατικοί Φιλόσοφοι χαρακτηρίστηκαν ως “Φυσικοί”.

Αρχή Σελίδας Κατάλογος Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών
Bitnami