TeleMath – Εκπαιδευτικές Υπηρεσίες

Μανιώ Σάλαρη – Υπεύθυνη Ενισχυτικής Στήριξης για Γυμνάσιο – Λύκειο

  • Μαθηματικός
  • Masters στη Διδακτική των Μαθηματικών του Μαθηματικού του Πανεπιστημίου Αθηνών
  • Υποψήφια Διδάκτωρ στη Διδακτική Μαθηματικών με νέες Τεχνολογίες
  • Μετεκπαίδευση στο Πανεπιστήμιο Wurzburg της Γερμανίας
  • Μεθοδικότητα, Εμπειρία, Αποτελεσματικότητα

Πληροφορίες: info@telemath.gr

TeleMath – Εκπαιδευτικές Υπηρεσίες

TeleMath© – Προετοιμασία Μαθητών που διακρίνονται στα Μαθηματικά

Η Ελληνική Μαθηματική Πύλη TeleMath© προσφέρει οργανωμένες υπηρεσίες για την προετοιμασία Μαθητών που διακρίνονται στα Μαθηματικά και επιθυμούν περαιτέρω βελτίωση της απόδοσης τους.

Η προετοιμασία αφορά καλούς Μαθητές στα Μαθηματικά και περιλαμβάνει ατομική ή ομαδική διδασκαλία. Το πρόγραμμα Μαθημάτων αναφέρεται σε ύλη, η οποία προηγείται της σχολικής και είναι υψηλού επιπέδου. Οι συνεργάτες του TeleMath© που προετοιμάζουν τους Μαθητές είναι έμπειροι και έχουν διατελέσει προπονητές της Ελληνικής Μαθηματικής Ολυμπιακής Ομάδας, έχουν δε προετοιμάσει ειδικά θέματα. Η προετοιμασία αφορά Μαθητές της Α’ Γυμνασίου μέχρι και τη Γ’ Λυκείου.

Για περισσότερες πληροφορίες: info@telemath.gr

TeleMath – Τρία ‘Αλυτα Προβλήματα

1. Το Δήλιο πρόβλημα

2. Η Τριχοτόμηση γωνίας
3. Ο Τετραγωνισμός του κύκλου

Το δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας.

Το δήλιο πρόβλημα απόκτησε δημοσιότητα όταν το ανέφερε, σε μια τραγωδία o βασιλιάς της Κρήτης Μίνως διαμαρτυρόμενος γιατί το κενοτάφιο, που προοριζόταν για το γυιό του Γλαύκο, ήταν πολύ μικρό για βασιλικό μνημείο και απαιτούσε το διπλασιασμό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχήμα. Πανελλήνια γνωστό όμως έγινε το πρόβλημα αυτό όταν αναφέρθηκε από το μαντείο του Δήλιου Απόλλωνα, όταν δηλαδή ρωτήθηκε το μαντείο, τι πρέπει να κάνουν για να απαλλαγούν από το λοιμό που μάστιζε το νησί Δήλο, απάντησε ότι τούτο θα συμβεί αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα. Έτσι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου πέρασε στην ιστορία με το όνομα “Δήλιο πρόβλημα”.

Οι λύσεις που δόθηκαν στο πρόβλημα, κατά την ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και φθάσανε σε μάς από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιμήδη Ευτόκιο (6 αι. μ.χ). Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβλημα του Αρχιμήδη και τη μέθοδο που αυτός χρησιμοποίησε για να το λύσει, δίνει όλες τις λύσεις παρεμβολής που του ήταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. Οι λύσεις που δίνει είναι 12 και η αρχαιότερη είναι του Αρχύτα. Οι κυριότερες από τις γνωστές λύσεις προέρχονται από τους :

Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες όταν οι προσπάθειές τους με το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καμπύλης στην ελληνική Γεωμετρία, μετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, με τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήματος.

Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωμέτρες που ασχοληθήκανε με το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας ειναι :

Η μέτρηση του εμβαδού του περικλειομένου από κάποιο σχήμα, ήταν σε όλους τους λαούς, από την εποχή που ακόμη η γεωμετρία ήταν εμπειρικής μορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωμετρών. Από τη στιγμή που διαλέξανε σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών, το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, αυτόματα τέθηκε και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων.

Αρχικά “τετραγωνίστηκαν” δηλαδή προσδιορίστηκε το εμβαδόν τους, τα ορθογώνια, τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραμμα και ορισμένα πολύγωνα. Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισμός σχημάτων περικλειομένων από καμπύλες γραμμές και πρώτου από όλα του κύκλου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, το τρίτο από τα μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας, απασχόλησε πολλούς ερευνητές για πολλούς αιώνες και υπήρξε το μεγάλο εμπόδιο πάνω στο οποίο σκόνταψαν μεγάλα ονόματα.

Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν οι Ιπποκράτης ο Χίος (470- 400 π.χ) ο σοφιστής Αντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ) ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β’ μισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. μ.χ) και τον Δεινόστρατο (4ος αι. π.χ) αδελφό του Μέναιχμου.

Ο Ιάμβλιχος (250-325 μ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν :

  • O Αρχιμήδης (267-212 π.χ) με τη βοήθεια της “Έλικας”.

  • Ο Νικομήδης (περίπου 200 π.χ) με την καμπύλη που ονομαζόταν “ιδίως τετραγωνίζουσα”.

  • Ο Απολλώνιος (265-170 π.χ) με την καμπύλη που ονόμαζε ο ίδιος “αδελφή της κοχλοειδούς” που ήταν όμως ίδια με την καμπύλη του Νικομήδη.

  • Ο Κάρπος με κάποια καμπύλη την οποία ονομάζει απλά “εκ διπλής κινήσεως προερχομένη”.

Και άλλοι πολλοί !!

Αρχή

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

Ακολουθώντας τους συνδέσμους παρακάτω μπορείτε να βρείτε στοιχεία για τη ζωή και το έργο των πιο γνωστών μαθηματικών του αρχαίου ελληνικού κόσμου.

Οι Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί παρουσιάζονται με χρονολογική σειρά με βάση μια προσέγγιση της περίοδου που έζησαν.

Τα βιογραφικά στοιχεία για όλους τους μαθηματικούς που παρουσιάζονται έχουν γραφτεί από τον κ. Δ.Τσιμπουράκη, Μαθηματικό – Αρχιτέκτονα.

TeleMath – International Mathematical Talent Search

International Mathematical Talent Search

Αρχείο Θεμάτων

Το International Mathematical Talent Search είναι ένας διεθνής Μαθηματικός διαγωνισμός μεταξύ των Μαθητών της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης που σαν κύριο στόχο έχει την ανακάλυψη μαθηματικών ταλέντων. Ο διαγωνισμός διενεργείται σε κύκλους και μπορούν να συμμετέχουν μαθητές από όλο τον κόσμο χωρίς κόστος.

Υπάρχουν τέσσερις κύκλοι εξετάσεων το χρόνο. Κάθε κύκλος περιλαμβάνει πέντε προβλήματα. Μέχρι σήμερα έχουν διενεργηθεί 44 κύκλοι εξετάσεων.

Μπορείτε να επιλέξετε από αρχείο θεμάτων ασκήσεις παλαιών διαγωνισμών, τις λύσεις, των οποίων μπορείτε να στέλνετε στη διεύθυνση : info@telemath.gr στην αγγλική γλώσσα. Κάνουμε ενέργειες να οριστούμε αντιπρόσωποι του διαγωνισμού στην Ελλάδα (International Panel of Judges). Στην περίπτωση αυτή θα ανακοινώνουμε έγκαιρα τις προτεινόμενες ασκήσεις των νέων κύκλων και θα μπορείτε να στέλνετε τις λύσεις στον TeleMath©, οι οποίες θα διαβιβάζονται για περαιτέρω αξιολόγηση και ανακοίνωση μέσω του Διαδικτύου.

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

‘Eζησε στο διάστημα (276-194 π.Χ.) περίπου.

Μαθηματικός, Φυσικός, Γεωγράφος, Αστρονόμος, Ιστορικός και Φιλόλογος σπούδασε και αργότερα δίδαξε στην Αλεξάνδρεια, στο περίφημο Μουσείο της.

Από το 235 π.Χ. και επί 40 χρόνια διετέλεσε διευθυντής της περίφημης βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Κάτοχος και ταξινομητής όλης της τότε μαθηματικής βιβλιογραφίας, έγινε γρήγορα γνώστης όλων των θεωρητικών προβλημάτων της τότε γεωμετρίας, αλλά και άλλων προβλημάτων της τότε γραμματείας.

Έτσι άπλωσε τη συγγραφική του δράση στην τακτοποίηση αυτών των προβλημάτων, ώστε να διευκολύνει τους μεταγενέστερους μελετητές. Από τα ποικίλα έργα του δεν σώθηκε κανένα εκτός από λίγους τίτλους, όπως:

  • “Χρονογραφίαι” (9 βιβλία): Χρονολογική ταξινόμηση ανθρώπων και γεγονότων.

  • “Γεωγραφικά” (3 βιβλία): Η Μαθηματική γεωγραφία και η ιστορία της.

  • “Περί της Αρχαίας κωμωδίας”: Κριτική, ιστορία και χρονολόγηση.

  • “Καταστερισμοί”: Μελέτη των αστερισμών.

  • “Περί Μεσοτήτων”: Μελέτη της Αριθμητικής Γεωμετρικής και Αρμονικής αναλογίας.

Επιστήθιος φίλος του Αρχιμήδη διατηρούσε επαφή μαζί του και συμμετείχε στα γεωμετρικά ζητούμενα της εποχής του. Δυστυχώς όμως από το συνολικό μαθηματικό του έργο δεν σώθηκε τίποτα. Σώθηκε όμως η μνήμη δύο μαθηματικών του επιτυχιών.

  • Επινόησε και κατασκεύασε το περίφημο όργανο “Μεσολάβιον”, με τη βοήθεια του οποίου έλυε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου), και ταυτόχρονα μπορούσε να παρεμβάλει ανάμεσα σε δύο δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα δύο μέσες αναλόγους, σε συνεχή αναλογία.

  • Στα περίφημα “Γεωγραφικά” του παρουσίασε την πρώτη ακριβή μαθηματική μέτρηση της περιμέτρου της Γης, με την βοήθεια σκιοθηρικών γνωμόνων, και την βρήκε ίση με 250.000 στάδια (=39.400-41.000 km, έναντι της πραγματικής 40.000 km) (Κλεομήδης, Στράβων).
    Πιστεύεται ότι ανακάλυψε ακόμα μία μέθοδο υπολογισμού της διάρκειας των μεγίστων ημερών στα διάφορα πλάτη, από το γεωγραφικό πλάτος τους, και ότι συγκρότησε πίνακα πλατών γνωστών τόπων.

  • Κατασκεύασε τον πρώτο παγκόσμιο μαθηματικό χάρτη της τότε οικουμένης, την οποία σχεδίασε πάνω σε ένα πλέγμα καθέτων ευθειών (μεσημβρινών και παραλλήλων κύκλων), αξιοποιώντας τις πληροφορίες των γεωγραφικών έργων της βιβλιοθήκης και των έργων των συνοδών του Μ. Αλεξάνδρου στην εκστρατεία της Ασίας.

Λάτρης της ταξινόμησης της ανθρώπινης γνώσης ο Ερατοσθένης, δεν μπόρεσε να αντέξει την στέρηση της μελέτης, που του επέβαλε η γεροντική τύφλωση, και τελικά τερμάτισε τη ζωή του, σε ηλικία 82 ετών, με απεργία πείνας.

Αρχή Σελίδας Κατάλογος Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

‘Eζησε στο διάστημα (427-347 π.Χ.).

Αθηναίος φιλόσοφος, αριστοκρατικής καταγωγής, ίδρυσε και διεύθυνε το διασημότερο πανεπιστήμιο του Ελληνισμού, την Ακαδημία, για 40 περίπου χρόνια, μέχρι τον θάνατό του.

Σε ηλικία 18 ετών γνώρισε τον 60-χρονο πια Σωκράτη και γοητεύτηκε από την προσωπικότητα και την διδασκαλία του. Από το συνολικό του έργο σώζονται 36 έργα, τα οποία εκτός από την “Απολογία του Σωκράτη” έχουν τη μορφή διαλόγου. Σε όλα εκτός των “Νόμων” τη συζήτηση διευθύνει ο Σωκράτης, ενώ ο τίτλος του καθενός είναι το όνομα του σπουδαιότερου συνομιλητή ή αφηγητή.

Στα έργα αυτά γίνεται φανερή η Πυθαγόρεια τοποθέτησή του, και ο άκρατος θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς τη Γεωμετρία.

Η συμβολή της Ακαδημίας στα μαθηματικά του 4ου αι. π.Χ. είναι σημαντικότατη, ιδιαίτερα με τα έργα των καθηγητών της Θεαίτητου, Μεναίχμου και Ευδόξου. Η συμβολή όμως του ίδιου του Πλάτωνα είναι αμφιλεγόμενη, αν και πιστεύεται ότι:

  • ‘Eλυσε το Δήλιο πρόβλημα (διπλασιασμό του κύβου) με κινητική γεωμετρία και κάποιο όργανο με τη βοήθεια του οποίου προέκυπτε η λύση.

  • Έδωσε γενική μορφή στην Αναλυτική μέθοδο και συνέβαλε στην έρευνα των Γεωμετρικών τόπων.

Για τα πολυσυζητημένα αστρονομικά ζητήματα της εποχής του (κίνηση του Ουρανού, θέση, σχήμα και κίνηση της γης) παρουσιάζει ξένες και θολά διατυπωμένες απόψεις (Φαίδων, Τίμαιος), γεγονός που φανερώνει ότι δεν διέθετε προσωπική άποψη για το θέμα, και γενικά ότι δεν ήταν μαθηματικός.

Η κύρια λοιπόν συμβολή του στα μαθηματικά βρίσκεται κυρίως στο ότι προέτρεπε τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες, και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά, τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία. Η προτροπή αυτή φαίνεται, εκτός των άλλων, και στις απόψεις του ότι τα Μαθηματικά είναι “δόσις θεών εις ανθρώπους” και ότι “οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο”.

Αρχή Σελίδας Κατάλογος Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών

TeleMath – Μαθηματικά Μικροεφαρμογίδια, από τον Walter Fendt

Μαθηματικά Εφαρμογίδια

Κέντρο βάρους ενός τριγώνου

Μπορείτε να κινείτε τις κορυφές του τριγώνου κρατώντας πατημένο επάνω τους το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού.

Kέντρο βάρους είναι το σημείο τομής των διαμέσων. Το σημείο τομής απέχει από τις κορυφές του τριγώνου τα 2/3 των αντιστοίχων διαμέσων.

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

ΑΡΧΥΤΑΣ ο ΤΑΡΑΝΤΙΝΟΣ

‘Eζησε στο διάστημα (428-365 π.Χ.).

  • Αναφέρεται σαν ο τελευταίος των Πυθαγορείων. ‘Hταν εξαιρετική προσωπικότητα του Τάραντα με ξεχωριστές πολιτικές και μαθηματικές ικανότητες. Θαυμάζεται ως Φιλόσοφος, Μαθηματικός, Αστρονόμος και Μηχανικός. Υπήρξε δάσκαλος του Πλάτωνα (388 π.Χ.) και αργότερα και του Ευδόξου (365 π.Χ.). Η προσφορά στα μαθηματικά της εποχής του ήταν σημαντικότατη. Συγκεκριμένα:

  • Έλυσε πρώτος το Δήλιο πρόβλημα με μια πολύ ωραία θεωρητική κατασκευή. Η λύση πρόκυπτε από την τομή ενός ημικυλίνδρου ενός ημικώνου και μιας σπείρας (στερεό εκ περιστροφής κύκλου περί άξονα που δεν τον τέμνει).

  • Ανέπτυξε τις μεθόδους της Λογιστικής (μαθηματικής τέχνης), με την ανακάλυψη μιας ευφυέστατης μεθόδου υπολογισμού οποιωνδήποτε τετραγωνικών ριζών, στηριγμένης στην μουσική αναλογία ων Πυθαγορείων.

  • Εφάρμοσε πρώτος τα μαθηματικά στην επίλυση προβλημάτων της Μηχανικής (μαθηματικής τέχνης).

  • ‘Eλυσε γεωμετρικά προβλήματα με τη βοήθεια κινητικής γεωμετρίας (οργάνων, των οποίων η κίνηση ενός στελέχους έδινε το ζητούμενο μήκος). Είναι πιθανό η φερόμενη ως λύση του Πλάτωνος του Δηλίου προβλήματος να είναι δική του ιδέα.

Γενικά ο Αρχύτας θεωρείτο στην αρχαιότητα ως μεγάλος μετρητής (και υπολογιστής), με μεγάλη προσφορά στους υπολογισμούς διαφόρων μεγεθών.

Αναφέρονται δύο έργα του, το “Αρμονικός” και το “Διατριβαί”, από τα οποία σώζονται λίγα αποσπάσματα. Στον Αρχύτα και στα τρία βιβλία του Φιλολάου (που αγόρασε ο Πλάτων), οφείλεται η αρχαία γνώση των επιτευγμάτων και δογμάτων των Πυθαγορείων. Σε αυτούς μάλλον οφείλεται και ο “Πυθαγορισμός” του Πλάτωνα.

Αρχή Σελίδας Κατάλογος Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών

TeleMath – Αρχαίοι ‘Ελληνες Μαθηματικοί

  • Κατεξοχήν γεωμέτρης, παρακολούθησε περί το 430 π.Χ. μαθήματα Φιλοσοφίας και μαθηματικών στην Αθήνα, στην οποία αργότερα και δίδαξε. Ευφυής γεωμέτρης κατέκτησε γρήγορα τις μέχρι τότε γεωμετρικές γνώσεις και συνέβαλε στην δρομολόγηση των λύσεων των προβλημάτων της Γεωμετρίας.

  • Η συμβολή του στην γεωμετρία ήταν η παρακάτω:

    • ‘Eγραψε τα πρώτα “Στοιχεία” γεωμετρίας, στα οποία μάλλον τακτοποιούσε κάποια θεωρητικά ζητήματα (Πρόκλος). Είναι πιθανό να κατείχε την πρώτη γεωμετρία του Αναξίμανδρου.
    • Ασχολήθηκε με το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, από την μελέτη του οποίου οδηγήθηκε στον τετραγωνισμό ενός μηνίσκου. Εκτός αυτού πρότεινε και τον τετραγωνισμό τριών άλλων μηνίσκων, στηριγμένος στην άποψη ότι όλοι οι μηνίσκοι των κανονικών πολυγώνων τετραγωνίζονται (Σιμπλίκιος).
    • Αυτός μάλλον θεώρησε όλους τους κύκλους ως όμοια σχήματα και πρότεινε δύο περίφημα θεωρήματα γι’ αυτούς, τα παρακάτω:
      (1) “Τα εμβαδά των κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαμέτρων τους” (Στοιχεία 2/ΧΙΙ) (Σιμπλίκιος). (Το πρώτο θεώρημα απειροστικού λογισμού).
      (2) “Τα εμβαδά ομοίων κυκλικών τμημάτων (με ίσες επίκεντρες γωνίες) είναι ανάλογα των τετραγώνων των χορδών τους” (Εύδημος). Η απόδειξη της (1) στα Στοιχεία είναι μάλλον δική του.
  • Οι μαθηματικές του αρχές ήταν Πυθαγόρειες, και είναι πιθανό για τη γεωμετρία εκείνων να είχε πληροφορίες από δημοσιεύσεις του Φιλολάου (440 π.Χ.) ή του αρχαιότερου ‘Iππασου (~510 π.Χ.). Το σύνολο της μαθηματικής του δράσης του χάρισε τον τίτλο του “Ευφυούς” γεωμέτρη, ο οποίος με το πρωτοπόρο έργο του, ώθησε την ελληνική γεωμετρία σε νέες κατακτήσεις.

Bitnami