TeleMath – Διδακτική Μαθηματικών – Στοιχεία Διδακτικής

  • Διαφορές στην ταχύτητα εκμάθησης. Έχει παρατηρηθεί ότι οι μαθητές δε μαθαίνουν με τους ίδιους ρυθμούς. Κάποιοι μαθαίνουν πολύ αργά και κάποιοι πολύ γρήγορα. Η τακτική, που ακολουθούν οι περισσότεροι καθηγητές, να προσαρμόζουν τη διδασκαλία τους στο μέσο μαθητή, ουσιαστικά δεν έχει για όλους το ίδιο αποτέλεσμα. Η ιδανικότερη περίπτωση θα ήταν να χωρίζονταν οι μαθητές σε μικρές ομοιογενείς ομάδες, ώστε η ταχύτητα διδασκαλίας τους καθηγητή, η οποία θα διαφέρει από ομάδα σε ομάδα, να είναι αποτελεσματική για όλα τα παιδιά.

  • Διαφορές στη νοητική ανάπτυξη. Είναι πολύ συνηθισμένο το φαινόμενο, παιδιά της ίδιας τάξης να βρίσκονται σε διαφορετικό στάδιο νοητικής ανάπτυξης. Έτσι, ενώ κάποια κατανοούν τη συμβολική αναπαράσταση των διαφόρων εννοιών, κάποια άλλα χρειάζονται να εργαστούν με συγκεκριμένα παραδείγματα.

  • Διαφορές στο στυλ μάθησης. Είναι γεγονός, πως ο τρόπος, που μαθαίνει το κάθε παιδί, είναι διαφορετικός. Πράγματι, κάποιοι μαθητές μαθαίνουν ευκολότερα ακούγοντας τον καθηγητή τους (ακουστικοί τύποι), ενώ κάποιοι άλλοι βλέποντας το βιβλίο (οπτικοί τύποι). Επίσης, ορισμένα παιδιά διακρίνονται από αυθορμητισμό απαντώντας, έτσι, γρήγορα και χωρίς να προηγηθεί ο απαραίτητος στοχασμός. Αντίθετα, οι σκεπτικοί μαθητές στοχάζονται αρκετή ώρα, προτού δώσουν την απάντησή τους, μειώνοντας την πιθανότητα να κάνουν λάθος. Οι δύο αυτές περιπτώσεις αποτελούν δύο αντιδιαμετρικά άκρα. Υπάρχει και η μέση κατάσταση, όπου το παιδί κάποιες φορές είναι αυθόρμητο και κάποιες άλλες σκεπτικό. Η κατάσταση αυτή, δεν προκαλεί μεγάλα προβλήματα στη διαδικασία διδασκαλίας- μάθησης. Όταν, όμως, ο μαθητής είναι είτε μόνο αυθόρμητος, είτε μόνο σκεπτικός, είναι φυσικό να προκαλούνται κάποιες προβληματικές καταστάσεις. Ο αυθόρμητος μαθητής θα έχει, λόγω της επιπολαιότητάς του, φτωχές επιδόσεις στα Μαθηματικά. Ο σκεπτικός μαθητής, πάλι, αμφισβητώντας συνεχώς, οτιδήποτε, δεν θα είναι αποτελεσματικός στην εργασία του. Ο καθηγητής θα μπορούσε, για να βελτιώσει αυτές τις καταστάσεις, να προτρέπει το αυθόρμητο παιδί να σκέφτεται κάποιο χρόνο, προτού απαντήσει και να ενθαρρύνει το σκεπτικό μαθητή να εκφράζει ελεύθερα την άποψη του.

TeleMath – Διδακτική Μαθηματικών – Στοιχεία Διδακτικής

Μια από τις επικρατέστερες απόψεις γύρω από το μάθημα των Μαθηματικών είναι αυτή που αφορά στη δυσκολία και το αίσθημα δυσφορίας που αυτό προκαλεί. Ακόμη και οι πιο μορφωμένοι άνθρωποι ομολογούν πως δυσκολεύονται να κατανοήσουν το μαθηματικό αντικείμενο και νιώθουν αποστροφή, απέχθεια ή αδιαφορία γι αυτό. Ποιοι, όμως, είναι οι λόγοι που συμβάλλουν στη δημιουργία της παραπάνω άποψης; Γιατί, άραγε, το μάθημα των Μαθηματικών να συνοδεύεται από τέτοιου είδους αντιλήψεις; Απαντήσεις σε αυτά τα ερωτήματα δεν είναι εύκολο να δοθούν. Κι αυτό, γιατί υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί λόγοι που προκαλούν αυτή τη δυσφορία για τα Μαθηματικά. Παρακάτω θα αναφέρουμε τους πιο σημαντικούς. Αυτοί είναι οι ακόλουθοι:

  1. Η μοναδικότητα της προσωπικότητας του κάθε ανθρώπου. Υπάρχουν άνθρωποι, οι οποίοι από τη φύση τους μπορούν και πειθαρχούν σε κανόνες, γεγονός που τους βοηθάει πολύ στην κατανόηση και τη μάθηση των Μαθηματικών. Από την άλλη πλευρά, υπάρχουν άτομα, τα οποία αντιδρούν έντονα στην επιβολή κανόνων, με αποτέλεσμα να νιώθουν μια αποστροφή για τα Μαθηματικά.

  2. Η αυστηρή σειρά του μαθήματος. Τα Μαθηματικά από τη φύση τους διακρίνονται από τη συνοχή και τη συνεκτικότητά τους. Όλες οι μαθηματικές έννοιες βασίζονται στις προηγούμενές τους. Δεν υπάρχουν ανεξάρτητες ενότητες στα Μαθηματικά. Αντίθετα, όλα συνδέονται μεταξύ τους με έναν αυστηρά ιεραρχικό τρόπο. Είναι, επομένως, δυνατό, αφήνοντας κάποιος ένα σημείο αδιευκρίνιστο να μην μπορέσει να κατανοήσει τα επόμενα. Το γεγονός αυτό δημιουργεί πολλά κενά και κατατάσσει το μάθημα των Μαθηματικών στα δύσκολα.

  3. Η μαθηματική γλώσσα. Η ειδική ορολογία των Μαθηματικών, η γλώσσα των συμβόλων και των παραστάσεων δυσχεραίνουν τους μαθητές να κατανοήσουν τις διάφορες έννοιες. Η μαθηματική γλώσσα, λοιπό, η οποία έχει πολλές διαφορές με τη φυσική καθημερινή γλώσσα, είναι άλλος ένας παράγοντας που προκαλεί στα παιδιά αποστροφή για τα Μαθηματικά.

  4. Η τυποποίηση του περιεχομένου. Από παλαιότερα έχει επικρατήσει η αντίληψη της αυστηρότητας και της τυποποίησης που πρέπει να συνοδεύουν την ανάπτυξη του μαθηματικού περιεχομένου. Έτσι, τα Μαθηματικά φαίνεται να είναι ένα σύνολο αυστηρά διατυπωμένων κανόνων που επιβάλλονται στους μαθητές. Αυτό, όμως, έχει σαν αποτέλεσμα να νιώθουν οι τελευταίοι δυσφορία για το μάθημα.

  5. Νοητικές δυσλειτουργίες. Κάποια άτομα, είναι γεγονός, πως έχουν μνήμη μικρής χωρητικότητας, δυσκολία στη λεκτική τους ικανότητα και δυσλειτουργία του εγκεφάλου. Έτσι, είναι εύλογο, ότι δεν έχουν καλές επιδόσεις στα Μαθηματικά.

TeleMath – Διδακτική Μαθηματικών – Στοιχεία Διδακτικής

Εκτός από τις μεθόδους που αναφέραμε παραπάνω, η διδασκαλία μπορεί να ακολουθήσει και κάποιες διαφορετικές μορφές προσέγγισης για τη διεκπεραίωσή της. Αυτές οι μορφές διδασκαλίας, οι τρόποι, δηλαδή, με τους οποίους λαμβάνει χώρα η μαθησιακή διαδικασία σε μικρά ή μεγάλα χρονικά διαστήματα σε σχέση με τις δραστηριότητες και τη συμπεριφορά του δασκάλου και των μαθητών χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες: τη δασκαλοκεντρική και τη μαθητοκεντρική. Τα δασκαλοκεντρικά μοντέλα έχουν ως επίκεντρο το δάσκαλο, ο οποίος φέρει την όλη ευθύνη της μάθησης. Τα μαθητοκεντρικά μοντέλα, αντίθετα, έχουν ως επίκεντρο τον ίδιο το μαθητή, ο οποίος με τη βοήθεια του καθηγητή του κατασκευάζει μόνος του τη γνώση και συμμετέχει ενεργά στη μαθησιακή διαδικασία. Παρακάτω θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στις πιο βασικές μορφές διδασκαλίας.

5.1. Αφηγηματική προσέγγιση

Στην αφηγηματική προσέγγιση ή διάλεξη, όπως αλλιώς ονομάζεται, το βασικότερο χαρακτηριστικό είναι η διήγηση και η παρουσίαση ενός θέματος από τον ομιλητή με τη μορφή του μονολόγου. Πρόκειται για ένα κατ’ εξοχήν δασκαλοκεντρικό μοντέλο, στο οποίο ο καθηγητής έχει τον πρωταγωνιστικό ρόλο, ενώ οι μαθητές είναι απλά παθητικοί θεατές, που ακούνε και κρατάνε κάποιες φορές σημειώσεις. Το σχηματικό μοντέλο, δηλαδή, που χρησιμοποιείται στην αφηγηματική προσέγγιση είναι αυτό του πομπού και του δέκτη.

Η διάλεξη είχε πολύ μεγάλη απήχηση στα παλιότερα χρόνια. Οι καινούργιες, όμως, εκπαιδευτικές μεταρρυθμίσεις και οι νέες θεωρίες μάθησης, οι οποίες τόνιζαν τη σημασία της ενεργούς συμμετοχής του παιδιού στη διαδικασία απόκτησης γνώσης προκάλεσαν την αμφισβήτηση της αφηγηματικής μορφής διδασκαλίας. Εκτός αυτών, ο μονόλογος από την πλευρά του καθηγητή και η παθητικότητα από το μέρος των μαθητών αποδείχθηκαν μη αποτελεσματικά. Πράγματι, τα παιδιά συναντούσαν πολλές δυσκολίες για ποικίλους λόγους. Πρώτα από όλα, ο καθηγητής υποθέτοντας ότι οι μαθητές του κατείχαν κάποιες βασικές γνώσεις και είχαν το ίδιο γνωσιακό υπόβαθρο, δίδασκε την κάθε ενότητα με τον ίδιο ρυθμό για όλους, με αποτέλεσμα οι πιο αδύνατοι μαθητές να μην μπορούν να παρακολουθήσουν. Η προσπάθεια, επίσης, του καθηγητή να καλύψει όσο το δυνατόν περισσότερη ύλη, χωρίς να ενδιαφέρεται για τη διαδικασία της μάθησης, έκανε τα παιδιά να αποκτούν γνώσεις, τις οποίες δεν ήξεραν πού και πώς να τις εφαρμόσουν.

Παρά το γεγονός ότι η αφηγηματική μορφή διδασκαλίας των Μαθηματικών αντιτίθεται στις σύγχρονες θεωρίες μάθησης, αφού περιορίζει την αυτενέργεια του μαθητή, σε ορισμένες περιπτώσεις η χρησιμοποίησή της είναι αναπόφευκτη. Έτσι, η εισαγωγή στο μάθημα, η ανακεφαλαίωσή του, στοιχεία σχετικά με την ιστορία των Μαθηματικών, πληροφορίες γύρω από τις εφαρμογές τους, κ.ά. είναι μερικές από τις περιπτώσεις, στις οποίες η αφήγηση είναι πολύ αποτελεσματική.

5.2. Ανακαλυπτική προσέγγιση

Σε αντίθεση με την αφηγηματική μορφή διδασκαλίας, η καθαρά ανακαλυπτική είναι μαθητοκεντρική. Ο μαθητής, δηλαδή, αυτενεργεί, ενώ ο ρόλος του καθηγητή περιορίζεται στο να δίνει συμβουλές. Το παιδί φθάνει στη γνώση μέσα από την εξερεύνηση και τον πειραματισμό. Βέβαια, υπάρχει και η καθοδηγούμενη ανακαλυπτική προσέγγιση, στην οποία ο μαθητής συμμετέχει ενεργά στη μαθησιακή διαδικασία, την οποία, όμως, ελέγχει και καθοδηγεί ο καθηγητής. Ανάλογα με την πρωτοβουλία που θα δοθεί στα παιδιά, η καθοδηγούμενη ανακάλυψη μπορεί να γίνει δασκαλοκεντρική μορφή διδασκαλίας.

Η ανακαλυπτική προσέγγιση, είτε είναι ελεύθερη, είτε καθοδηγούμενη, ακολουθεί πάντα τα ακόλουθα πέντε βήματα:

(α) Καθορισμός προβλήματος

(β) Συγκέντρωση δεδομένων στοιχείων και ανάλυσή τους

(γ) Σχηματισμός υπόθεσης

(δ) Έλεγχος ισχύος της υπόθεσης

(ε) Τελικό συμπέρασμα

Οι δύο παραπάνω προσεγγίσεις που αναφέραμε, η αφηγηματική και η ανακαλυπτική αποτελούν τα δύο άκρα των διαφόρων προσεγγίσεων. Ενδιάμεσα υπάρχουν κι άλλες μορφές διδασκαλίας, οι οποίες καθορίζονται από το ρόλο του καθηγητή και των μαθητών. Τα δύο άκρα, πάντως, δεν έχουν να προσφέρουν πολλά στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Ούτε η διάλεξη, αλλά ούτε και η ελεύθερη ανακάλυψη οδηγούν το μαθητή στην απόκτηση γνώσης. Κάποια ενδιάμεση μορφή καθοδηγούμενης ανακάλυψης θα ήταν ίσως η καλύτερη διδακτική προσέγγιση.

Η καθοδηγούμενη ανακαλυπτική προσέγγιση έχει πολλά πλεονεκτήματα. Αρχικά δημιουργεί ένα ενεργητικό περιβάλλον. Οι μαθητές συμμετέχουν δραστήρια στη μαθησιακή διαδικασία, αναπτύσσοντας, έτσι, πρωτοβουλία και γενικά θετικές για αυτούς στάσεις. Εκτός από τις στάσεις, αναπτύσσουν και κάποιες δεξιότητες, τεχνικές και στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων, οι οποίες του βοηθούν να αντιμετωπίζουν πραγματικές καταστάσεις. Επίσης, μαθαίνουν να επικοινωνούν, τόσο με τον καθηγητή τους, όσο και μεταξύ τους και να ανταλλάζουν διαφορετικές απόψεις. Η προσπάθεια που καταβάλλει το ίδιο το παιδί, για να κατασκευάσει τη νέα γνώση έχει σαν αποτέλεσμα να διατηρηθεί αυτή η γνώση για πολύ περισσότερο καιρό στο μυαλό του και να μπορεί να χρησιμοποιηθεί πιο αποτελεσματικά σε διάφορες προβληματικές καταστάσεις. Η έρευνα, τέλος, που γίνεται από το μαθητή, προκειμένου να μάθει το νέο αντικείμενο, τονώνει την αυτοπεποίθησή του και τον βοηθάει να γνωρίσει τις ικανότητές του.

Η διδασκαλία με τη μορφή της καθοδηγούμενης ανακάλυψης έχει, όπως είδαμε, ένα πλήθος πλεονεκτημάτων για τους μαθητές. Ο σχεδιασμός της, όμως, και η πραγματοποίησή της, παρουσιάζουν αρκετές δυσκολίες για τον καθηγητή. Πράγματι, ο τελευταίος πρέπει να αποφασίζει αρχικά σχετικά με το βαθμό επέμβασής του και καθοδήγησης των παιδιών. Πρέπει να βρίσκει τρόπους να ελέγχει τις υποθέσεις που κάνουν οι μαθητές του, να ανακεφαλαιώνει κάθε φορά όσα έχουν ειπωθεί μέχρι κάποια ορισμένη στιγμή να μην επιμένει στη φραστική διατύπωση των διαφόρων ανακαλύψεων, ειδικά στις μικρότερες τάξεις, κ.ά.

Κάνοντας, λοιπόν, το σχεδιασμό της διδασκαλίας μιας ενότητας Μαθηματικών και λαμβάνοντας υπόψη του τα παραπάνω στοιχεία ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα να ακολουθήσει κάποια από τις ακόλουθες μορφές καθοδηγούμενης ανακάλυψης:

(α) Δειγματική μορφή: Σε αυτή τη μορφή διδασκαλίας, ο καθηγητής επιδεικνύει μια διαδικασία, η οποία αποτελεί υπόδειγμα κάποιας δεξιότητας ή πρότυπο ενός φαινομένου. Ο μαθητής παρατηρεί και προσπαθεί να αναπτύξει την ανάλογη ικανότητα πραγματοποίησης αυτής της διαδικασίας. Η δειγματική διδασκαλία περιλαμβάνει εποπτικά μέσα, εργαστηριακό εξοπλισμό, χρήση γεωμετρικών οργάνων, κ.ά..

(β) Διδασκαλία με φύλλα εργασίας. Τα φύλλα εργασίας δεν είναι τίποτα άλλο παρά γραπτές οδηγίες, οι οποίες δίνονται από τον καθηγητή στους μαθητές και έχουν ως στόχο να κατευθύνουν τις ενέργειες και γενικά τις εργασίες τους. Η συμμετοχή των παιδιών είναι, φυσικά, ενεργητική και γίνεται με γραπτό τρόπο. Έτσι, επιτυγχάνεται οικονομία χρόνου και οργάνωση των μαθημάτων.

(γ)Εργαστηριακές προσεγγίσεις. Η διδασκαλία μέσω εργαστηριακών προσεγγίσεων συμβάλλει στην ανάπτυξη της αυτενέργειας και της δημιουργικότητας του μαθητή. Η ενασχόληση του παιδιού με τα κατάλληλα εκπαιδευτικά μέσα και ο πειραματισμός του με αυτά, του προσφέρουν την ευκαιρία να αναδιοργανώσει και να τροποποιήσει τις προηγούμενες γνώσεις και να κατασκευάσει με πολύ ενδιαφέρον την καινούργια. Η εργαστηριακή μορφή διδασκαλίας συνιστάται και εφαρμόζεται κυρίως στις μικρότερες τάξεις, όπου τα παιδιά βρίσκονται στο στάδιο των συγκεκριμένων συλλογισμών και χρειάζονται συγκεκριμένες πράξεις και δραστηριότητες για να μάθουν. Για την επιτυχία της μορφής αυτής, είναι απαραίτητο να γίνεται σωστή οργάνωση του μαθήματος από τον καθηγητή, η οποία συνίσταται στην εξασφάλιση αρκετών υλικών για όλους, στην ενθάρρυνση της συνεργασίας μεταξύ των μαθητών, στη συνεχή παρακολούθηση της εργασίας τους, στην επιβράβευση της πρωτοβουλίας, της φαντασίας, της πρωτοτυπίας τους, κ.ά..

(δ) Συνεργατική μάθηση. Σύμφωνα με αυτή τη μορφή καθοδηγούμενης ανακάλυψης, ο καθηγητής χωρίζει την τάξη σε ομάδες των 4-5 παιδιών, οι οποίες αναλαμβάνουν να διερευνήσουν κάποιο θέμα ή να επιλύσουν κάποιο πρόβλημα σε ορισμένο χρονικό διάστημα. Η προσέγγιση αυτή αναπτύσσει στα παιδιά την κριτική σκέψη, τους μαθαίνει να συνεργάζονται, να αλληλοβοηθιούνται και να επικοινωνούν. Φυσικά, είναι δυνατό να δημιουργηθούν ανταγωνιστικές σχέσεις μεταξύ των διάφορων ομάδων και να προκληθούν προβλήματα. Τα πλεονεκτήματα, όμως, της συνεργατικής μάθησης είναι πολύ περισσότερα και αξίζει να προσπαθήσει ο καθηγητής να οργανώσει μια τέτοιου είδους διδασκαλία.

(ε) Διδασκαλία με ερωτήσεις. Οι ερωτήσεις αποτελούν ένα από τα πιο διαδεδομένα μέσα διδασκαλίας των Μαθηματικών. Έχουν ποικίλες εφαρμογές, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούνται για να προκαλέσουν το ενδιαφέρον των μαθητών, να τους ενθαρρύνουν να εξερευνήσουν, να εισάγουν ένα νέο θέμα διδασκαλίας, να βοηθήσουν στη συνειδητοποίηση και εμπέδωση των διαφόρων μαθηματικών εννοιών και τεχνικών, να διαγνώσουν, να αξιολογήσουν, κ.λ.π.. Οι ερωτήσεις, δηλαδή, μπορεί να έχουν ως σκοπό την απλή εξάσκηση της μνήμης, την εξήγηση κάποιων καταστάσεων, την ανάλυση της γνώσης, την έρευνα, κ.ά.. Ανάλογα με το προς μάθηση αντικείμενο, ο καθηγητής θα πρέπει να υποβάλλει και σχετικές με αυτό ερωτήσεις. Οι κατάλληλες ερωτήσεις μπορούν να προωθήσουν αποτελεσματικά τη μάθηση και να βοηθήσουν τα παιδιά να αποκτήσουν πολύ ευκολότερα τις νέες γνώσεις.

Η καθοδηγούμενη ανακάλυψη δεν περιορίζεται στις παραπάνω μορφές. Η διδασκαλία των Μαθηματικών μπορεί να γίνει και με άλλους τρόπους, ανάλογα με τη θέληση και τη φαντασία που διαθέτει ο καθηγητής. Θα πρέπει, όμως, κάθε φορά να διέπεται από κάποιες συγκεκριμένες αρχές, ώστε να εξασφαλίζεται ένα κατάλληλο περιβάλλον για την αποτελεσματική εκμάθηση του μαθηματικού αντικειμένου. Το κυρίαρχο στοιχείο που πρέπει να κατευθύνει τη διδασκαλία των Μαθηματικών είναι η έμφαση στην πρωτοβουλία, τη συμμετοχή και την αυτενέργεια του μαθητή. Ο ρόλος του καθηγητή περιορίζεται μόνο σε κάποια σημεία, τα οποία το παιδί μόνο του δεν έχει τη δυνατότητα να ανακαλύψει.

Συγκεκριμένα, η διδασκαλία των Μαθηματικών, για να είναι επιτυχής, θα πρέπει να περιλαμβάνει τα ακόλουθα στοιχεία:

  1. Παρουσίαση από τον καθηγητή. Η παρουσίαση της κάθε ενότητας και του κάθε θέματος από τον καθηγητή είναι απαραίτητο συστατικό της διδασκαλίας. Κι αυτό, γιατί τα βιβλία και γενικότερα τα συγγράμματα, που δίνονται στους μαθητές, περιέχουν μεν τις απαραίτητες γι αυτούς γνώσεις, αλλά δε λειτουργούν ως πρότυπο ζωντανής σκέψης, όπως γίνεται με την περίπτωση των καθηγητών. Η ζωντανή παρουσίαση οποιουδήποτε αντικειμένου, εξάλλου, είναι γνωστό πως εντυπώνει τις νέες γνώσεις αποτελεσματικότερα στο μυαλό του παιδιού.

  2. Συζήτηση μεταξύ καθηγητή και μαθητών και μεταξύ μαθητών. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως, οι νέες θεωρίες μάθησης δίνουν έμφαση στην ενεργητική συμμετοχή του παιδιού στη μαθησιακή διαδικασία. Το παλαιότερο σχήμα του πομπού-καθηγητή και δέκτη-μαθητή έχει αποδειχθεί μη αποτελεσματικό. Έτσι, ο διάλογος, η συνεργασία, η αντιπαράθεση και γενικότερα η ελευθερία έκφρασης των μαθητών είναι απαραίτητα στοιχεία της επιτυχούς διδασκαλίας.

  3. Πρακτική άσκηση. Είναι γενικά αποδεκτό, πως η θεωρία από μόνη της δεν αρκεί για να μάθει κάποιος Μαθηματικά. Χρειάζεται πρακτική άσκηση, εφαρμογή, δηλαδή, της θεωρίας στην επίλυση προβληματικών καταστάσεων. Το παιδί πρέπει να «κάνει» Μαθηματικά, προκειμένου να κατανοήσει το νέο αντικείμενο και να το διατηρήσει στη μνήμη του για πολύ περισσότερο χρόνο.

  4. Επίλυση προβλημάτων που προσομοιάζουν σε πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Η δημιουργία των Μαθηματικών έγινε, όπως είδαμε και σε προηγούμενη ενότητα, για την αντιμετώπιση προβλημάτων της καθημερινής ζωής, τα οποία είχαν να κάνουν με την κατανόηση της φύσης, την προσαρμογή του ανθρώπου στο γύρω περιβάλλον του, κ.ά.. Η διδασκαλία των Μαθηματικών, επομένως, θα πρέπει να παρουσιάζει προβλήματα μέσα από τη ζωή, ώστε να δίνει κίνητρο στους μαθητές να ασχοληθούν με αυτά και να μπορέσουν αργότερα να ανταπεξέλθουν σε αρκετές δυσκολίες.

  5. Εξερευνητική εργασία. Σύμφωνα με τις σύγχρονες θεωρίες μάθησης, η γνώση δε μεταδίδεται από έναν πομπό σε ένα δέκτη, αλλά κατασκευάζεται. Τα Μαθηματικά, εξάλλου, δεν αποτελούν έμπνευση κάποιου προσώπου, αλλά έχουν κατασκευαστεί. Αυτό σημαίνει πως το βασικό χαρακτηριστικό τους είναι η εξερεύνηση. Είναι εύλογο, λοιπόν, η εξερεύνηση να αποτελεί και το βασικό χαρακτηριστικό της διδασκαλίας. Η ερευνητική εργασία δίνει την ευκαιρία στο μαθητή να πάρει πρωτοβουλία και να αυτενεργήσει. Μόνο έτσι θα κατακτήσει για πάντα το μαθηματικό αντικείμενο.

  6. Παρακίνηση των μαθητών. Είναι γενικά αποδεκτό, πως για να μάθει κάποιος Μαθηματικά, πρέπει πρώτα από όλα να το θέλει ο ίδιος και όχι να του επιβάλλεται. Αρχική, λοιπόν, αποστολή του καθηγητή είναι να κινητοποιήσει το ενδιαφέρον των μαθητών του. Για να γίνει κάτι τέτοιο, πρέπει ο ίδιος να αγαπάει τη δουλειά του και να έχει ενθουσιασμό για αυτό που διδάσκει. Μόνο έτσι θα μπορέσει τους μεταδώσει θετικές στάσεις για τα Μαθηματικά. Εκτός, όμως, από αυτά, ο καθηγητής μπορεί να κινητοποιήσει το ενδιαφέρον των παιδιών μέσα από την παρουσίαση προβληματικών καταστάσεων, οι οποίες έχουν άμεση σχέση με τις εμπειρίες και γενικά το περιβάλλον τους. Έτσι, είναι δυνατό οι μαθητές να συμμετέχουν με δική τους πρωτοβουλία στη μαθησιακή διαδικασία.

Αρχή

TeleMath – Διδακτική Μαθηματικών – Σενάρια Διδακτικής

Δείτε ένα Υπόδειγμα Δραστηριότητας

Κάθε δραστηριότητα , οποία στηρίζεται στη χρήση νέων τεχνολογιών και ειδικότερα στους Η/Υ αποτελείται από τις επόμενες ενότητες:

  1. ΤΙΤΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

  2. ΣΕΝΑΡΙΟ ΣΤΟ ΟΠΟΙΟ ΕΝΤΑΣΣΕΤΑΙ Η ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

    • Η ιδέα του σεναρίου
    • Περιγραφή της δραστηριότητας
  3. EΝΤΑΞΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

    • Ενότητα απο τη σχολική ύλη
  4. ΕΠΙΔΙΩΚΟΜΕΝΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

    • Γενικό πλαίσιο στόχων
    • Βασικοί στόχοι της δραστηριότητας
    • Υπο – στόχοι
  5. ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ

  6. ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ

  7. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ

  8. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑΣ

    • Φύλλο εργασίας(Για τον Μαθητή)
    • Αναλυτικές οδηγίες προς τον Καθηγητή(Χρήση Λογισμικού)
  9. ΟΔΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

  10. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Δείτε ένα Υπόδειγμα Δραστηριότητας

Αρχή

TeleMath – Διασκεδαστικά Μαθηματικά

TeleMath©  Διασκέδαση

Τα Μαθηματικά πέρα απο τις εφαρμογές που έχουν στην καθημερινή μας Ζωή και την χρησιμοποίηση τους σαν απαραίτητο εργαλείο στις Θετικές Κοινωνικές, Οικονομικές, και Πολιτικές Επιστήμες είναι γνωστό ότι Οξύνουν την αντίληψη και βοηθούν τον άνθρωπο να βάλει την σκέψη του σε μία λογική σειρά βελτιώνοντας έτσι την αποδοσή του στην κοινωνία.

Η ενασχόληση του ανθρώπου με προβλήματα που απαιτούν λογική η Μαθηματική σκέψη πέρα από την καλλιέργεια του πνεύματος προσφέρει και πνευματική διασκέδαση. Πολά απο τα προβλήματα που θα συναντήσετε στις σελίδες TeleMath© – Διασκέδαση είναι πολύ δύσκολα και θα απαιτήσουν χρόνο και προσπάθεια. Καλή δύναμη!

TeleMath – Διδακτική Μαθηματικών – Αναλυτικά Προγράμματα

4.1 Γενικοί σκοποί της διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Λύκειο.

Στο Λύκειο, οι μαθηματικές γνώσεις των μαθητών θα πρέπει να εμπεδωθούν, να αναπτυχθούν και να επεκταθούν σε θεωρητικότερο επίπεδο από αυτό του Γυμνασίου. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθητές θα πρέπει:

  • Να είναι ικανοί να αναπτύσσουν και να συσχετίζουν ιδέες, να διαμορφώνουν ένα σχέδιο διαπραγμάτευσης και να ακολουθούν κατάλληλες στρατηγικές, όταν αντιμετωπίζουν μια μη οικεία κατάσταση.

  • Να μυηθούν και να εξοικειωθούν με τη διαδικασία της μαθηματικής απόδειξης και, γενικότερα, να καλλιεργήσουν τη “μαθηματική τους σκέψη και την κριτική τους ικανότητα”.

  • Να αποκτήσουν μια αξιόλογη βάση μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων που θα τους επιτρέψει να συνεχίσουν τις σπουδές τους σε πιο προχωρημένο επίπεδο.

  • Να ασκηθούν στη χρησιμοποίηση των Μαθηματικών σε πραγματικές καταστάσεις και στη σύγχρονη πραγματικότητα.

  • Να γνωρίσουν τις ποικίλες εφαρμογές των Μαθηματικών στις άλλες επιστήμες.

  • Να εκτιμήσουν την αισθητική και ιστορική συνιστώσα των Μαθηματικών.

  • Να χρησιμοποιούν με αποτελεσματικό τρόπο τις δυνατότητες των υπολογιστών τσέπης και των ηλεκτρονικών υπολογιστών στη επίλυση προβλημάτων.

  • Να είναι ικανοί να εκφράζουν και να παρουσιάζουν τις ιδέες τους με τη γλώσσα και τις δυνατότητες των Μαθηματικών, προφορικά και γραπτά αλλά και με τη χρήση των νέων τεχνολογιών.

Κατά τις σπουδές τους στο Λύκειο, οι μαθητές θα έλθουν σε επαφή με νέες ιδέες και έννοιες καθώς και με κλάδους των Μαθηματικών όπως:

  • Η Άλγεβρα και η Ανάλυση, όπου εκτός από την ανάπτυξη δεξιοτήτων στο λογισμό, που εξακολουθεί να είναι στόχος και στο Λύκειο, επιδιώκεται:

    • Η κατανόηση και η χρήση συναρτησιακών σχέσεων στην επίλυση προβλημάτων.

    • Η ανάπτυξη δεξιοτήτων ανάγνωσης, χρήσης και κατασκευής γραφικών παραστάσεων.

    • Η κατανόηση και χρήση εξισώσεων, αλγορίθμων, κανόνων και τύπων.

    • Η κατανόηση και η χρήση εννοιών της Ανάλυσης.

  • Η Γεωμετρία, όπου επιδιώκεται:

    • Η ανάπτυξη και χρήση των ιδιοτήτων των σχημάτων του επιπέδου και του χώρου.

    • Η εξοικείωση με την αποδεικτική διαδικασία.

    • Η χρήση γεωμετρικών μοντέλων στην επίλυση προβλημάτων.

  • Η Αναλυτική Γεωμετρία, όπου επιδιώκεται η εξοικείωση στη μελέτη ιδιοτήτων γεωμετρικών σχημάτων με αλγεβρικές μεθόδους.

  • Οι Μιγαδικοί αριθμοί όπου επιδιώκεται:

    • H κατανόηση της χρησιμότητας της επέκτασης του συνόλου των πραγματικών αριθμών στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

    • Η επίλυση προβλημάτων από άλλους μαθηματικούς κλάδους.

  • Η Θεωρία αριθμών, όπου επιδιώκεται:

    • Η άσκηση στην αποδεικτική διαδικασία.

    • Η καλλιέργεια της αφηρημένης σκέψης.

    • Η γνωριμία με την αισθητική αξία των Μαθηματικών.

  • Οι Πιθανότητες και η Στατιστική, όπου επιδιώκεται:

    • Η άσκηση στη συλλογή, επεξεργασία και παρουσίαση δεδομένων και στην εξαγωγή συμπερασμάτων.

    • Η κατανόηση της χρησιμότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων στην επίλυση προβλημάτων που έχουν το στοιχείο της αβεβαιότητας.

    • Η γνωριμία με τις βασικές μεθόδους της Στατιστικής και των Πιθανοτήτων.

Προκειμένου να ικανοποιηθούν οι απαιτήσεις αυτές, το πρόγραμμα σπουδών και κατά συνέπεια και το σχολικό βιβλίο, θα πρέπει να δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να:

  • Να ερμηνεύουν και να χρησιμοποιούν τα δεδομένα, τα σύμβολα και την ορολογία.

  • Να οργανώνουν τα δεδομένα τους και να χρησιμοποιούν τις κατάλληλες προσεγγίσεις και εκτιμήσεις.

  • Να κατανοούν τις αριθμητικές, αλγεβρικές και γεωμετρικές (στο επίπεδο και στο χώρο) έννοιες και σχέσεις.

  • Να αναγνωρίζουν την κατάλληλη μαθηματική διαδικασία για τη διαπραγμάτευση μιας κατάστασης.

  • Να μεταφράζουν τα προβλήματα στη μαθηματική γλώσσα και να επιλέγουν και να εφαρμόζουν τις κατάλληλες τεχνικές και αλγορίθμους.

  • Να ανακαλούν από τη μνήμη τους και να κάνουν σωστή χρήση των αλγοριθμικών διαδικασιών.

  • Να αναπτύσσουν επιχειρήματα και να κάνουν λογικές συνεπαγωγές.

  • Να εκφράζουν την επίλυση ενός προβλήματος με λογικό και σαφή τρόπο και να ερμηνεύουν τα συμπεράσματά τους.

  • Να επιλύουν προβλήματα που απαιτούν εκτεταμένη εργασία μέσα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα.

  • Να διαβάζουν και να κατανοούν μαθηματικά κείμενα.

  • Να κάνουν κριτική σε μαθηματικά επιχειρήματα.

4.2 Στόχοι – περιεχόμενα της διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Λύκειο.

4.2.1 ‘Αλγεβρα Α΄ Λυκείου.

Στόχοι

Περιεχόμενα

Κάνουν πράξεις με πραγματικούς αριθμούς και με αλγεβρικές παραστάσεις.

Λογισμός στο R.

Θα επαναληφθούν με συντομία οι βασικές ιδιότητες των πράξεων στο R, οι δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο, οι βασικές ταυτότητες και η παραγοντοποίηση των αλγεβρικών παραστάσεων. Με κατάλληλα παραδείγματα θα παρουσιαστούν η “άμεση” και η “έμμεση” απόδειξη και θα εξηγηθεί η σημασία των συμβόλων “ή” και “και”.

Επιλύουν και διερευνούν εξισώσεις α΄ βαθμού καθώς και γραμμικά συστήματα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους.

Επιλύουν συστήματα τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους.

Εξισώσεις και συστήματα α΄ βαθμού.

Στην επίλυση συστημάτων θα χρησιμοποιηθούν η μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών και της αντικατάστασης.

Χρησιμοποιούν την έννοια της διάταξης των πραγματικών αριθμών και των ιδιοτήτων της.

Επιλύουν ανισώσεις της μορφής αχ+β>0 και αχ+β

Χρησιμοποιούν την έννοια της απόλυτης τιμής και των βασικών ιδιοτήτων της.

Διάταξη στο R.

Οι ιδιότητες των ανισοτήτων θα χρησιμοποιηθούν και για την απόδειξη απλών ταυτοανισοτήτων.

Η απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού θα ορισθεί ως απόσταση δύο σημείων και θα εξηγηθούν οι βασικές ιδιότητές της.

Χρησιμοποιούν την έννοια της ν-στης ρίζας μη αρνητικού πραγματικού αριθμού και αποδεικνύουν τις βασικές τους ιδιότητες.

Ρίζες πραγματικών αριθμών.

Η ν-στη ρίζα ως η μη αρνητική λύση της εξίσωσης. Πράξεις με ριζικά.

Οργανώνουν και να χρησιμοποιούν τις γνώσεις τους στην επίλυση προβλημάτων.

Επίλυση προβλημάτων.

Εξοικείωση με μεθόδους και στρατηγικές λύσης προβλήματος. Καθορίζουν τη θέση σημείου στο επίπεδο.

Εκφράζουν την ευθεία και τον κύκλο με τις αντίστοιχες εξισώσεις.

Αναγνωρίζουν πότε δύο ευθείες είναι παράλληλες ή κάθετες.

Εξίσωση γραμμής.

Μετά τον καθορισμό σημείου στο επίπεδο θα δοθούν μόνο οι εξισώσεις της ευθείας και του κύκλου.

Ορίζουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου.

Αποδεικνύουν τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί.

Ο ορισμός των τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας ή τόξου θα γίνει με τη βοήθεια του τριγωνομετρικού κύκλου. Στη συνέχεια θα υπολογισθούν οι σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών ενός τόξου, και η σχέση μεταξύ τριγωνομετρικών αριθμών αντιθέτων, συμπληρωματικών και παραπληρωματικών τόξων.

Χρησιμοποιούν την έννοια της συνάρτησης.

Συναρτήσεις.

Θα οριστεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης. Η μονοτονία και τα ακρότατα θα εξηγηθούν με τη βοήθεια των γραφικών παραστάσεων.

Προσδιορίζουν τα διαστήματα μονοτονίας, και τα ακρότατά μιας συνάρτησης.

Υπολογίζουν και χρησιμοποιούν τον ρυθμό μεταβολής στη μελέτη μιας συνάρτησης.

Επιλύουν την αx2+βx+γ=0.

Μελέτη απλών συναρτήσεων.

Θα γίνει μελέτη και γραφική παράσταση των συναρτήσεων :

Θα βρεθούν οι ρίζες της αx2+βx+γ=0 και θα εκφραστεί το γινόμενο και το άθροισμά τους συναρτήσει των α, β, γ.

Θα υπολογισθεί ο ρυθμός μεταβολής των y=αx+β, y=αx2 και θα χρησιμοποιηθεί στη μονοτονία και τα ακρότατα.

4.2.2 Γεωμετρία Α΄ Λυκείου.

TeleMath – Πλοήγηση

 ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ 

Προτεινόμενα Θέματα από τον Telemath

Θέματα   1 – 10

Θέματα 11 – 20

Θέματα 21 – 30

Θέματα 31 – 40

Θέματα 41 – 50

Θέματα 51 – 60

Θέματα 61 – 70

Θέματα 71 – 80

Θέματα 81 – 90

Θέματα 91 – 100

Θέματα 101 – 110

Bitnami